Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6933 / 5363
↖ ↑ ↗
← N 52.656394°
W 27.663574°		 ← 1 482.04 m → N 52.656394°
W 27.641602°		 →
↑
1 482.28 m
↓
↑
1 482.28 m
↓
N 52.643064°
W 27.663574°		 ← 1 482.49 m →
2 197 126 m²		 N 52.643064°
W 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423187255859375 y=0.327362060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423187255859375 × 214)
    floor (0.423187255859375 × 16384)
    floor (6933.5)     		tx = 6933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327362060546875 × 214)
    floor (0.327362060546875 × 16384)
    floor (5363.5)     		ty = 5363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6933 / 5363 ti = "14/6933/5363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6933/5363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6933 ÷ 214
    6933 ÷ 16384     		x = 0.42315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5363 ÷ 214
    5363 ÷ 16384     		y = 0.32733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48282045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32733154296875 × 2 - 1) × π
    0.3453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08490791220111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48282045} λ = -0.48282045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08490791220111))-π/2
    2×atan(2.95916730298852)-π/2
    2×1.24491188664549-π/2
    2.48982377329097-1.57079632675     		φ = 0.91902745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48282045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91902745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.656394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6933 KachelY 5363 -0.48282045 0.91902745 -27.663574 52.656394
    Oben rechts KachelX + 1 6934 KachelY 5363 -0.48243696 0.91902745 -27.641602 52.656394
    Unten links KachelX 6933 KachelY + 1 5364 -0.48282045 0.91879479 -27.663574 52.643064
    Unten rechts KachelX + 1 6934 KachelY + 1 5364 -0.48243696 0.91879479 -27.641602 52.643064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91902745-0.91879479) × R
    0.000232659999999996 × 6371000     		dl = 1482.27685999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91902745-0.91879479) × R
    0.000232659999999996 × 6371000     		dr = 1482.27685999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48282045--0.48243696) × cos(0.91902745) × R
    0.000383489999999986 × 0.606593632368516 × 6371000     		do = 1482.03853412253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48282045--0.48243696) × cos(0.91879479) × R
    0.000383489999999986 × 0.606778583453547 × 6371000     		du = 1482.4904093489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91902745)-sin(0.91879479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606593632368516-0.606778583453547)×R²
    abs(-0.48243696--0.48282045)×0.000184951085031138×R²
    0.000383489999999986×0.000184951085031138×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184951085031138×40589641000000     		ar = 2197126.33676354m²