Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69326 / 72750
↖ ↑ ↗
← S 19.430334°
E 10.409546°		 ← 288.03 m → S 19.430334°
E 10.412293°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
S 19.432924°
E 10.409546°		 ← 288.03 m →
82 962 m²		 S 19.432924°
E 10.412293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528919219970703 y=0.555042266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528919219970703 × 217)
    floor (0.528919219970703 × 131072)
    floor (69326.5)     		tx = 69326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555042266845703 × 217)
    floor (0.555042266845703 × 131072)
    floor (72750.5)     		ty = 72750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69326 / 72750 ti = "17/69326/72750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69326/72750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69326 ÷ 217
    69326 ÷ 131072     		x = 0.528915405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72750 ÷ 217
    72750 ÷ 131072     		y = 0.555038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528915405273438 × 2 - 1) × π
    0.057830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18168085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345816793859085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18168085} λ = 0.18168085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345816793859085))-π/2
    2×atan(0.707642119613287)-π/2
    2×0.615836510896785-π/2
    1.23167302179357-1.57079632675     		φ = -0.33912330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18168085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.409546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33912330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.430334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69326 KachelY 72750 0.18168085 -0.33912330 10.409546 -19.430334
    Oben rechts KachelX + 1 69327 KachelY 72750 0.18172879 -0.33912330 10.412293 -19.430334
    Unten links KachelX 69326 KachelY + 1 72751 0.18168085 -0.33916851 10.409546 -19.432924
    Unten rechts KachelX + 1 69327 KachelY + 1 72751 0.18172879 -0.33916851 10.412293 -19.432924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33912330--0.33916851) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33912330--0.33916851) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18168085-0.18172879) × cos(-0.33912330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943046671322617 × 6371000     		do = 288.030727443225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18168085-0.18172879) × cos(-0.33916851) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943031630779861 × 6371000     		du = 288.026133674324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33912330)-sin(-0.33916851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943046671322617-0.943031630779861)×R²
    abs(0.18172879-0.18168085)×1.50405427551403e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50405427551403e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50405427551403e-05×40589641000000     		ar = 82961.6670306391m²