Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69317 / 72755
↖ ↑ ↗
← S 19.443284°
E 10.384827°		 ← 287.95 m → S 19.443284°
E 10.387573°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 19.445874°
E 10.384827°		 ← 287.94 m →
82 919 m²		 S 19.445874°
E 10.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528850555419922 y=0.555080413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528850555419922 × 217)
    floor (0.528850555419922 × 131072)
    floor (69317.5)     		tx = 69317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555080413818359 × 217)
    floor (0.555080413818359 × 131072)
    floor (72755.5)     		ty = 72755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69317 / 72755 ti = "17/69317/72755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69317/72755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69317 ÷ 217
    69317 ÷ 131072     		x = 0.528846740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72755 ÷ 217
    72755 ÷ 131072     		y = 0.555076599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528846740722656 × 2 - 1) × π
    0.0576934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18124942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555076599121094 × 2 - 1) × π
    -0.110153198242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.346056478357185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18124942} λ = 0.18124942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346056478357185))-π/2
    2×atan(0.707472529091934)-π/2
    2×0.615723498569393-π/2
    1.23144699713879-1.57079632675     		φ = -0.33934933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18124942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.384827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33934933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.443284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69317 KachelY 72755 0.18124942 -0.33934933 10.384827 -19.443284
    Oben rechts KachelX + 1 69318 KachelY 72755 0.18129735 -0.33934933 10.387573 -19.443284
    Unten links KachelX 69317 KachelY + 1 72756 0.18124942 -0.33939453 10.384827 -19.445874
    Unten rechts KachelX + 1 69318 KachelY + 1 72756 0.18129735 -0.33939453 10.387573 -19.445874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33934933--0.33939453) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33934933--0.33939453) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18124942-0.18129735) × cos(-0.33934933) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942971455991581 × 6371000     		do = 287.947678033654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18124942-0.18129735) × cos(-0.33939453) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.942956409141628 × 6371000     		du = 287.943083297008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33934933)-sin(-0.33939453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942971455991581-0.942956409141628)×R²
    abs(0.18129735-0.18124942)×1.50468499524603e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.50468499524603e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.50468499524603e-05×40589641000000     		ar = 82919.4009280593m²