Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69314 / 72382
↖ ↑ ↗
← S 18.474399°
E 10.376587°		 ← 289.63 m → S 18.474399°
E 10.379333°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
S 18.477004°
E 10.376587°		 ← 289.62 m →
83 901 m²		 S 18.477004°
E 10.379333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528827667236328 y=0.552234649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528827667236328 × 217)
    floor (0.528827667236328 × 131072)
    floor (69314.5)     		tx = 69314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552234649658203 × 217)
    floor (0.552234649658203 × 131072)
    floor (72382.5)     		ty = 72382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69314 / 72382 ti = "17/69314/72382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69314/72382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69314 ÷ 217
    69314 ÷ 131072     		x = 0.528823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72382 ÷ 217
    72382 ÷ 131072     		y = 0.552230834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528823852539062 × 2 - 1) × π
    0.057647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18110561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552230834960938 × 2 - 1) × π
    -0.104461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328176014798904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18110561} λ = 0.18110561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328176014798904))-π/2
    2×atan(0.720236236311454)-π/2
    2×0.624178617946119-π/2
    1.24835723589224-1.57079632675     		φ = -0.32243909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18110561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32243909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.474399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69314 KachelY 72382 0.18110561 -0.32243909 10.376587 -18.474399
    Oben rechts KachelX + 1 69315 KachelY 72382 0.18115354 -0.32243909 10.379333 -18.474399
    Unten links KachelX 69314 KachelY + 1 72383 0.18110561 -0.32248456 10.376587 -18.477004
    Unten rechts KachelX + 1 69315 KachelY + 1 72383 0.18115354 -0.32248456 10.379333 -18.477004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32243909--0.32248456) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32243909--0.32248456) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18110561-0.18115354) × cos(-0.32243909) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948465339115559 × 6371000     		do = 289.625301336975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18110561-0.18115354) × cos(-0.32248456) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948450929560863 × 6371000     		du = 289.620901206102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32243909)-sin(-0.32248456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948465339115559-0.948450929560863)×R²
    abs(0.18115354-0.18110561)×1.44095546963374e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44095546963374e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44095546963374e-05×40589641000000     		ar = 83900.7337592162m²