Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69309 / 72329
↖ ↑ ↗
← S 18.336277°
E 10.362854°		 ← 289.92 m → S 18.336277°
E 10.365601°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.338884°
E 10.362854°		 ← 289.91 m →
84 041 m²		 S 18.338884°
E 10.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528789520263672 y=0.551830291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528789520263672 × 217)
    floor (0.528789520263672 × 131072)
    floor (69309.5)     		tx = 69309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551830291748047 × 217)
    floor (0.551830291748047 × 131072)
    floor (72329.5)     		ty = 72329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69309 / 72329 ti = "17/69309/72329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69309/72329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69309 ÷ 217
    69309 ÷ 131072     		x = 0.528785705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72329 ÷ 217
    72329 ÷ 131072     		y = 0.551826477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528785705566406 × 2 - 1) × π
    0.0575714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18086592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551826477050781 × 2 - 1) × π
    -0.103652954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.325635359119041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18086592} λ = 0.18086592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325635359119041))-π/2
    2×atan(0.722068435103656)-π/2
    2×0.625383963842475-π/2
    1.25076792768495-1.57079632675     		φ = -0.32002840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18086592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.362854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32002840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.336277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69309 KachelY 72329 0.18086592 -0.32002840 10.362854 -18.336277
    Oben rechts KachelX + 1 69310 KachelY 72329 0.18091386 -0.32002840 10.365601 -18.336277
    Unten links KachelX 69309 KachelY + 1 72330 0.18086592 -0.32007390 10.362854 -18.338884
    Unten rechts KachelX + 1 69310 KachelY + 1 72330 0.18091386 -0.32007390 10.365601 -18.338884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32002840--0.32007390) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32002840--0.32007390) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18086592-0.18091386) × cos(-0.32002840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949226484009313 × 6371000     		do = 289.91820130612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18086592-0.18091386) × cos(-0.32007390) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949212169021646 × 6371000     		du = 289.913829140419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32002840)-sin(-0.32007390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949226484009313-0.949212169021646)×R²
    abs(0.18091386-0.18086592)×1.43149876673521e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43149876673521e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43149876673521e-05×40589641000000     		ar = 84040.9994654883m²