Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69302 / 72346
↖ ↑ ↗
← S 18.380592°
E 10.343628°		 ← 289.84 m → S 18.380592°
E 10.346374°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
S 18.383198°
E 10.343628°		 ← 289.84 m →
84 001 m²		 S 18.383198°
E 10.346374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528736114501953 y=0.551959991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528736114501953 × 217)
    floor (0.528736114501953 × 131072)
    floor (69302.5)     		tx = 69302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551959991455078 × 217)
    floor (0.551959991455078 × 131072)
    floor (72346.5)     		ty = 72346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69302 / 72346 ti = "17/69302/72346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69302/72346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69302 ÷ 217
    69302 ÷ 131072     		x = 0.528732299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72346 ÷ 217
    72346 ÷ 131072     		y = 0.551956176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528732299804688 × 2 - 1) × π
    0.057464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18053036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551956176757812 × 2 - 1) × π
    -0.103912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.326450286412582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18053036} λ = 0.18053036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326450286412582))-π/2
    2×atan(0.721480241528137)-π/2
    2×0.624997238170853-π/2
    1.24999447634171-1.57079632675     		φ = -0.32080185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18053036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32080185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.380592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69302 KachelY 72346 0.18053036 -0.32080185 10.343628 -18.380592
    Oben rechts KachelX + 1 69303 KachelY 72346 0.18057830 -0.32080185 10.346374 -18.380592
    Unten links KachelX 69302 KachelY + 1 72347 0.18053036 -0.32084734 10.343628 -18.383198
    Unten rechts KachelX + 1 69303 KachelY + 1 72347 0.18057830 -0.32084734 10.346374 -18.383198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32080185--0.32084734) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32080185--0.32084734) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18053036-0.18057830) × cos(-0.32080185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94898287775103 × 6371000     		do = 289.843797684416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18053036-0.18057830) × cos(-0.32084734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948968532516453 × 6371000     		du = 289.839416280529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32080185)-sin(-0.32084734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94898287775103-0.948968532516453)×R²
    abs(0.18057830-0.18053036)×1.43452345773287e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43452345773287e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43452345773287e-05×40589641000000     		ar = 84000.9641585673m²