Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69301 / 72342
↖ ↑ ↗
← S 18.370166°
E 10.340882°		 ← 289.80 m → S 18.370166°
E 10.343628°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
S 18.372772°
E 10.340882°		 ← 289.80 m →
83 989 m²		 S 18.372772°
E 10.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528728485107422 y=0.551929473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528728485107422 × 217)
    floor (0.528728485107422 × 131072)
    floor (69301.5)     		tx = 69301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551929473876953 × 217)
    floor (0.551929473876953 × 131072)
    floor (72342.5)     		ty = 72342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69301 / 72342 ti = "17/69301/72342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69301/72342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69301 ÷ 217
    69301 ÷ 131072     		x = 0.528724670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72342 ÷ 217
    72342 ÷ 131072     		y = 0.551925659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528724670410156 × 2 - 1) × π
    0.0574493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18048243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551925659179688 × 2 - 1) × π
    -0.103851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.326258538814102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18048243} λ = 0.18048243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326258538814102))-π/2
    2×atan(0.721618596896032)-π/2
    2×0.62508822351485-π/2
    1.2501764470297-1.57079632675     		φ = -0.32061988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18048243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.340882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32061988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.370166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69301 KachelY 72342 0.18048243 -0.32061988 10.340882 -18.370166
    Oben rechts KachelX + 1 69302 KachelY 72342 0.18053036 -0.32061988 10.343628 -18.370166
    Unten links KachelX 69301 KachelY + 1 72343 0.18048243 -0.32066537 10.340882 -18.372772
    Unten rechts KachelX + 1 69302 KachelY + 1 72343 0.18053036 -0.32066537 10.343628 -18.372772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32061988--0.32066537) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32061988--0.32066537) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18048243-0.18053036) × cos(-0.32061988) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949040242202909 × 6371000     		do = 289.800854910781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18048243-0.18053036) × cos(-0.32066537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949025904824014 × 6371000     		du = 289.796476819657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32061988)-sin(-0.32066537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949040242202909-0.949025904824014)×R²
    abs(0.18053036-0.18048243)×1.43373788942247e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43373788942247e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43373788942247e-05×40589641000000     		ar = 83988.5191017712m²