Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69299 / 72339
↖ ↑ ↗
← S 18.362346°
E 10.335388°		 ← 289.87 m → S 18.362346°
E 10.338135°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.364953°
E 10.335388°		 ← 289.87 m →
84 028 m²		 S 18.364953°
E 10.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528713226318359 y=0.551906585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528713226318359 × 217)
    floor (0.528713226318359 × 131072)
    floor (69299.5)     		tx = 69299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551906585693359 × 217)
    floor (0.551906585693359 × 131072)
    floor (72339.5)     		ty = 72339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69299 / 72339 ti = "17/69299/72339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69299/72339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69299 ÷ 217
    69299 ÷ 131072     		x = 0.528709411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72339 ÷ 217
    72339 ÷ 131072     		y = 0.551902770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528709411621094 × 2 - 1) × π
    0.0574188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18038655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551902770996094 × 2 - 1) × π
    -0.103805541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.326114728115242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18038655} λ = 0.18038655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326114728115242))-π/2
    2×atan(0.721722380833203)-π/2
    2×0.625156466131339-π/2
    1.25031293226268-1.57079632675     		φ = -0.32048339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18038655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.335388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32048339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.362346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69299 KachelY 72339 0.18038655 -0.32048339 10.335388 -18.362346
    Oben rechts KachelX + 1 69300 KachelY 72339 0.18043449 -0.32048339 10.338135 -18.362346
    Unten links KachelX 69299 KachelY + 1 72340 0.18038655 -0.32052889 10.335388 -18.364953
    Unten rechts KachelX + 1 69300 KachelY + 1 72340 0.18043449 -0.32052889 10.338135 -18.364953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32048339--0.32052889) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32048339--0.32052889) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18038655-0.18043449) × cos(-0.32048339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949083248856658 × 6371000     		do = 289.874453603627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18038655-0.18043449) × cos(-0.32052889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949068914219692 × 6371000     		du = 289.870075436524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32048339)-sin(-0.32052889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949083248856658-0.949068914219692)×R²
    abs(0.18043449-0.18038655)×1.43346369662067e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43346369662067e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43346369662067e-05×40589641000000     		ar = 84028.3169897501m²