Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69272 / 72633
↖ ↑ ↗
← S 19.127004°
E 10.261231°		 ← 288.50 m → S 19.127004°
E 10.263977°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
S 19.129599°
E 10.261231°		 ← 288.50 m →
83 245 m²		 S 19.129599°
E 10.263977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528507232666016 y=0.554149627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528507232666016 × 217)
    floor (0.528507232666016 × 131072)
    floor (69272.5)     		tx = 69272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554149627685547 × 217)
    floor (0.554149627685547 × 131072)
    floor (72633.5)     		ty = 72633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69272 / 72633 ti = "17/69272/72633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69272/72633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69272 ÷ 217
    69272 ÷ 131072     		x = 0.52850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72633 ÷ 217
    72633 ÷ 131072     		y = 0.554145812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52850341796875 × 2 - 1) × π
    0.0570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17909226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554145812988281 × 2 - 1) × π
    -0.108291625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.340208176603539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17909226} λ = 0.17909226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340208176603539))-π/2
    2×atan(0.71162216425642)-π/2
    2×0.618483561080214-π/2
    1.23696712216043-1.57079632675     		φ = -0.33382920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17909226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.261231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33382920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.127004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69272 KachelY 72633 0.17909226 -0.33382920 10.261231 -19.127004
    Oben rechts KachelX + 1 69273 KachelY 72633 0.17914019 -0.33382920 10.263977 -19.127004
    Unten links KachelX 69272 KachelY + 1 72634 0.17909226 -0.33387449 10.261231 -19.129599
    Unten rechts KachelX + 1 69273 KachelY + 1 72634 0.17914019 -0.33387449 10.263977 -19.129599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33382920--0.33387449) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33382920--0.33387449) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17909226-0.17914019) × cos(-0.33382920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944794585202958 × 6371000     		do = 288.504392470593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17909226-0.17914019) × cos(-0.33387449) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944779744366339 × 6371000     		du = 288.499860642596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33382920)-sin(-0.33387449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944794585202958-0.944779744366339)×R²
    abs(0.17914019-0.17909226)×1.48408366192898e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.48408366192898e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.48408366192898e-05×40589641000000     		ar = 83245.1508313667m²