Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69264 / 72336
↖ ↑ ↗
← S 18.354525°
E 10.239258°		 ← 289.89 m → S 18.354525°
E 10.242004°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.357132°
E 10.239258°		 ← 289.88 m →
84 032 m²		 S 18.357132°
E 10.242004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528446197509766 y=0.551883697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528446197509766 × 217)
    floor (0.528446197509766 × 131072)
    floor (69264.5)     		tx = 69264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551883697509766 × 217)
    floor (0.551883697509766 × 131072)
    floor (72336.5)     		ty = 72336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69264 / 72336 ti = "17/69264/72336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69264/72336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69264 ÷ 217
    69264 ÷ 131072     		x = 0.5284423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72336 ÷ 217
    72336 ÷ 131072     		y = 0.5518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5284423828125 × 2 - 1) × π
    0.056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17870876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17870876} λ = 0.17870876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325970917416382))-π/2
    2×atan(0.721826179696688)-π/2
    2×0.625224711839563-π/2
    1.25044942367913-1.57079632675     		φ = -0.32034690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17870876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32034690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.354525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69264 KachelY 72336 0.17870876 -0.32034690 10.239258 -18.354525
    Oben rechts KachelX + 1 69265 KachelY 72336 0.17875670 -0.32034690 10.242004 -18.354525
    Unten links KachelX 69264 KachelY + 1 72337 0.17870876 -0.32039240 10.239258 -18.357132
    Unten rechts KachelX + 1 69265 KachelY + 1 72337 0.17875670 -0.32039240 10.242004 -18.357132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32034690--0.32039240) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32034690--0.32039240) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17870876-0.17875670) × cos(-0.32034690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949126237829442 × 6371000     		do = 289.887583542451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17870876-0.17875670) × cos(-0.32039240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949111909086652 × 6371000     		du = 289.883207175581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32034690)-sin(-0.32039240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949126237829442-0.949111909086652)×R²
    abs(0.17875670-0.17870876)×1.43287427902816e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43287427902816e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43287427902816e-05×40589641000000     		ar = 84032.123363933m²