Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69261 / 72337
↖ ↑ ↗
← S 18.357132°
E 10.231018°		 ← 289.88 m → S 18.357132°
E 10.233765°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.359739°
E 10.231018°		 ← 289.88 m →
84 031 m²		 S 18.359739°
E 10.233765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528423309326172 y=0.551891326904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528423309326172 × 217)
    floor (0.528423309326172 × 131072)
    floor (69261.5)     		tx = 69261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551891326904297 × 217)
    floor (0.551891326904297 × 131072)
    floor (72337.5)     		ty = 72337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69261 / 72337 ti = "17/69261/72337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69261/72337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69261 ÷ 217
    69261 ÷ 131072     		x = 0.528419494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72337 ÷ 217
    72337 ÷ 131072     		y = 0.551887512207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528419494628906 × 2 - 1) × π
    0.0568389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17856495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551887512207031 × 2 - 1) × π
    -0.103775024414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.326018854316002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17856495} λ = 0.17856495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326018854316002))-π/2
    2×atan(0.721791578416915)-π/2
    2×0.625201962926698-π/2
    1.2504039258534-1.57079632675     		φ = -0.32039240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17856495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.231018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32039240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.357132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69261 KachelY 72337 0.17856495 -0.32039240 10.231018 -18.357132
    Oben rechts KachelX + 1 69262 KachelY 72337 0.17861289 -0.32039240 10.233765 -18.357132
    Unten links KachelX 69261 KachelY + 1 72338 0.17856495 -0.32043790 10.231018 -18.359739
    Unten rechts KachelX + 1 69262 KachelY + 1 72338 0.17861289 -0.32043790 10.233765 -18.359739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32039240--0.32043790) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32039240--0.32043790) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17856495-0.17861289) × cos(-0.32039240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949111909086652 × 6371000     		do = 289.883207175581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17856495-0.17861289) × cos(-0.32043790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949097578378963 × 6371000     		du = 289.87883020858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32039240)-sin(-0.32043790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949111909086652-0.949097578378963)×R²
    abs(0.17861289-0.17856495)×1.43307076891919e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43307076891919e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43307076891919e-05×40589641000000     		ar = 84030.8546534077m²