Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69253 / 71807
↖ ↑ ↗
← S 16.970114°
E 10.209046°		 ← 292.07 m → S 16.970114°
E 10.211792°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
S 16.972741°
E 10.209046°		 ← 292.06 m →
85 315 m²		 S 16.972741°
E 10.211792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528362274169922 y=0.547847747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528362274169922 × 217)
    floor (0.528362274169922 × 131072)
    floor (69253.5)     		tx = 69253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547847747802734 × 217)
    floor (0.547847747802734 × 131072)
    floor (71807.5)     		ty = 71807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69253 / 71807 ti = "17/69253/71807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69253/71807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69253 ÷ 217
    69253 ÷ 131072     		x = 0.528358459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71807 ÷ 217
    71807 ÷ 131072     		y = 0.547843933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528358459472656 × 2 - 1) × π
    0.0567169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17818146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547843933105469 × 2 - 1) × π
    -0.0956878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.300612297517372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17818146} λ = 0.17818146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300612297517372))-π/2
    2×atan(0.740364758365463)-π/2
    2×0.637305981092233-π/2
    1.27461196218447-1.57079632675     		φ = -0.29618436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17818146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.209046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29618436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.970114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69253 KachelY 71807 0.17818146 -0.29618436 10.209046 -16.970114
    Oben rechts KachelX + 1 69254 KachelY 71807 0.17822939 -0.29618436 10.211792 -16.970114
    Unten links KachelX 69253 KachelY + 1 71808 0.17818146 -0.29623021 10.209046 -16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 69254 KachelY + 1 71808 0.17822939 -0.29623021 10.211792 -16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29618436--0.29623021) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29618436--0.29623021) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17818146-0.17822939) × cos(-0.29618436) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.9564571306954 × 6371000     		do = 292.065691036963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17818146-0.17822939) × cos(-0.29623021) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 292.061604262331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29618436)-sin(-0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9564571306954-0.956443747320158)×R²
    abs(0.17822939-0.17818146)×1.33833752417045e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.33833752417045e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.33833752417045e-05×40589641000000     		ar = 85314.8143522364m²