Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69250 / 74369
↖ ↑ ↗
← S 23.566505°
E 10.200806°		 ← 279.89 m → S 23.566505°
E 10.203552°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 23.569022°
E 10.200806°		 ← 279.89 m →
78 353 m²		 S 23.569022°
E 10.203552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528339385986328 y=0.567394256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528339385986328 × 217)
    floor (0.528339385986328 × 131072)
    floor (69250.5)     		tx = 69250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567394256591797 × 217)
    floor (0.567394256591797 × 131072)
    floor (74369.5)     		ty = 74369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69250 / 74369 ti = "17/69250/74369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69250/74369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69250 ÷ 217
    69250 ÷ 131072     		x = 0.528335571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74369 ÷ 217
    74369 ÷ 131072     		y = 0.567390441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528335571289062 × 2 - 1) × π
    0.056671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17803765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567390441894531 × 2 - 1) × π
    -0.134780883789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.423426634343956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17803765} λ = 0.17803765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423426634343956))-π/2
    2×atan(0.654799213678131)-π/2
    2×0.579741613647902-π/2
    1.1594832272958-1.57079632675     		φ = -0.41131310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17803765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.200806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41131310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.566505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69250 KachelY 74369 0.17803765 -0.41131310 10.200806 -23.566505
    Oben rechts KachelX + 1 69251 KachelY 74369 0.17808558 -0.41131310 10.203552 -23.566505
    Unten links KachelX 69250 KachelY + 1 74370 0.17803765 -0.41135704 10.200806 -23.569022
    Unten rechts KachelX + 1 69251 KachelY + 1 74370 0.17808558 -0.41135704 10.203552 -23.569022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41131310--0.41135704) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41131310--0.41135704) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17803765-0.17808558) × cos(-0.41131310) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9165966183942 × 6371000     		do = 279.893804083998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17803765-0.17808558) × cos(-0.41135704) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916579049714919 × 6371000     		du = 279.888439276428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41131310)-sin(-0.41135704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9165966183942-0.916579049714919)×R²
    abs(0.17808558-0.17803765)×1.75686792814878e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75686792814878e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75686792814878e-05×40589641000000     		ar = 78353.2076263694m²