Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69244 / 72324
↖ ↑ ↗
← S 18.323241°
E 10.184326°		 ← 289.94 m → S 18.323241°
E 10.187073°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.325848°
E 10.184326°		 ← 289.94 m →
84 047 m²		 S 18.325848°
E 10.187073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528293609619141 y=0.551792144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528293609619141 × 217)
    floor (0.528293609619141 × 131072)
    floor (69244.5)     		tx = 69244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551792144775391 × 217)
    floor (0.551792144775391 × 131072)
    floor (72324.5)     		ty = 72324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69244 / 72324 ti = "17/69244/72324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69244/72324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69244 ÷ 217
    69244 ÷ 131072     		x = 0.528289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72324 ÷ 217
    72324 ÷ 131072     		y = 0.551788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528289794921875 × 2 - 1) × π
    0.05657958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17775002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.10357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.325395674620941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17775002} λ = 0.17775002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325395674620941))-π/2
    2×atan(0.722241524456707)-π/2
    2×0.625497725567173-π/2
    1.25099545113435-1.57079632675     		φ = -0.31980088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17775002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31980088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.323241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69244 KachelY 72324 0.17775002 -0.31980088 10.184326 -18.323241
    Oben rechts KachelX + 1 69245 KachelY 72324 0.17779796 -0.31980088 10.187073 -18.323241
    Unten links KachelX 69244 KachelY + 1 72325 0.17775002 -0.31984638 10.184326 -18.325848
    Unten rechts KachelX + 1 69245 KachelY + 1 72325 0.17779796 -0.31984638 10.187073 -18.325848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31980088--0.31984638) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31980088--0.31984638) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17775002-0.17779796) × cos(-0.31980088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949298035757566 × 6371000     		do = 289.940055051779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17775002-0.17779796) × cos(-0.31984638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94928373059674 × 6371000     		du = 289.935685887448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31980088)-sin(-0.31984638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949298035757566-0.94928373059674)×R²
    abs(0.17779796-0.17775002)×1.43051608266775e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43051608266775e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43051608266775e-05×40589641000000     		ar = 84047.3348751199m²