Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6924 / 1822
↖ ↑ ↗
← N 80.065634°
W 27.861328°		 ← 421.51 m → N 80.065634°
W 27.839355°		 →
↑
421.57 m
↓
↑
421.57 m
↓
N 80.061843°
W 27.861328°		 ← 421.67 m →
177 731 m²		 N 80.061843°
W 27.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422637939453125 y=0.111236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422637939453125 × 214)
    floor (0.422637939453125 × 16384)
    floor (6924.5)     		tx = 6924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111236572265625 × 214)
    floor (0.111236572265625 × 16384)
    floor (1822.5)     		ty = 1822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6924 / 1822 ti = "14/6924/1822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6924/1822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6924 ÷ 214
    6924 ÷ 16384     		x = 0.422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1822 ÷ 214
    1822 ÷ 16384     		y = 0.1112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48627191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1112060546875 × 2 - 1) × π
    0.777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44286440463806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48627191} λ = -0.48627191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44286440463806))-π/2
    2×atan(11.5059512859653)-π/2
    2×1.48410262774994-π/2
    2.96820525549988-1.57079632675     		φ = 1.39740893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48627191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39740893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.065634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6924 KachelY 1822 -0.48627191 1.39740893 -27.861328 80.065634
    Oben rechts KachelX + 1 6925 KachelY 1822 -0.48588841 1.39740893 -27.839355 80.065634
    Unten links KachelX 6924 KachelY + 1 1823 -0.48627191 1.39734276 -27.861328 80.061843
    Unten rechts KachelX + 1 6925 KachelY + 1 1823 -0.48588841 1.39734276 -27.839355 80.061843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39740893-1.39734276) × R
    6.61700000001986e-05 × 6371000     		dl = 421.569070001265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39740893-1.39734276) × R
    6.61700000001986e-05 × 6371000     		dr = 421.569070001265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48627191--0.48588841) × cos(1.39740893) × R
    0.000383499999999981 × 0.172519938725951 × 6371000     		do = 421.514257110412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48627191--0.48588841) × cos(1.39734276) × R
    0.000383499999999981 × 0.17258511619694 × 6371000     		du = 421.673503823964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39740893)-sin(1.39734276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172519938725951-0.17258511619694)×R²
    abs(-0.48588841--0.48627191)×6.51774709891917e-05×R²
    0.000383499999999981×6.51774709891917e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.51774709891917e-05×40589641000000     		ar = 177730.940171502m²