Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69235 / 71798
↖ ↑ ↗
← S 16.946470°
E 10.159607°		 ← 292.16 m → S 16.946470°
E 10.162354°		 →
↑
292.17 m
↓
↑
292.17 m
↓
S 16.949097°
E 10.159607°		 ← 292.16 m →
85 362 m²		 S 16.949097°
E 10.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528224945068359 y=0.547779083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528224945068359 × 217)
    floor (0.528224945068359 × 131072)
    floor (69235.5)     		tx = 69235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547779083251953 × 217)
    floor (0.547779083251953 × 131072)
    floor (71798.5)     		ty = 71798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69235 / 71798 ti = "17/69235/71798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69235/71798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69235 ÷ 217
    69235 ÷ 131072     		x = 0.528221130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71798 ÷ 217
    71798 ÷ 131072     		y = 0.547775268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528221130371094 × 2 - 1) × π
    0.0564422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17731859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547775268554688 × 2 - 1) × π
    -0.095550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.300180865420792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17731859} λ = 0.17731859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300180865420792))-π/2
    2×atan(0.740684244398708)-π/2
    2×0.637512317229672-π/2
    1.27502463445934-1.57079632675     		φ = -0.29577169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17731859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29577169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.946470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69235 KachelY 71798 0.17731859 -0.29577169 10.159607 -16.946470
    Oben rechts KachelX + 1 69236 KachelY 71798 0.17736653 -0.29577169 10.162354 -16.946470
    Unten links KachelX 69235 KachelY + 1 71799 0.17731859 -0.29581755 10.159607 -16.949097
    Unten rechts KachelX + 1 69236 KachelY + 1 71799 0.17736653 -0.29581755 10.162354 -16.949097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29577169--0.29581755) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dl = 292.174060000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29577169--0.29581755) × R
    4.58600000000087e-05 × 6371000     		dr = 292.174060000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17731859-0.17736653) × cos(-0.29577169) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.956577496417906 × 6371000     		do = 292.163389710764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17731859-0.17736653) × cos(-0.29581755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.956564128225506 × 6371000     		du = 292.159306720707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29577169)-sin(-0.29581755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956577496417906-0.956564128225506)×R²
    abs(0.17736653-0.17731859)×1.3368192400609e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3368192400609e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3368192400609e-05×40589641000000     		ar = 85361.967298269m²