Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69232 / 71799
↖ ↑ ↗
← S 16.949097°
E 10.151367°		 ← 292.16 m → S 16.949097°
E 10.154114°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
S 16.951724°
E 10.151367°		 ← 292.16 m →
85 342 m²		 S 16.951724°
E 10.154114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528202056884766 y=0.547786712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528202056884766 × 217)
    floor (0.528202056884766 × 131072)
    floor (69232.5)     		tx = 69232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547786712646484 × 217)
    floor (0.547786712646484 × 131072)
    floor (71799.5)     		ty = 71799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69232 / 71799 ti = "17/69232/71799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69232/71799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69232 ÷ 217
    69232 ÷ 131072     		x = 0.5281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71799 ÷ 217
    71799 ÷ 131072     		y = 0.547782897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5281982421875 × 2 - 1) × π
    0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547782897949219 × 2 - 1) × π
    -0.0955657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.300228802320412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17717478} λ = 0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300228802320412))-π/2
    2×atan(0.740648739143447)-π/2
    2×0.637489389710163-π/2
    1.27497877942033-1.57079632675     		φ = -0.29581755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29581755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.949097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69232 KachelY 71799 0.17717478 -0.29581755 10.151367 -16.949097
    Oben rechts KachelX + 1 69233 KachelY 71799 0.17722272 -0.29581755 10.154114 -16.949097
    Unten links KachelX 69232 KachelY + 1 71800 0.17717478 -0.29586340 10.151367 -16.951724
    Unten rechts KachelX + 1 69233 KachelY + 1 71800 0.17722272 -0.29586340 10.154114 -16.951724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29581755--0.29586340) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29581755--0.29586340) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17717478-0.17722272) × cos(-0.29581755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.956564128225506 × 6371000     		do = 292.159306720707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17717478-0.17722272) × cos(-0.29586340) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.956550760936975 × 6371000     		du = 292.155224006716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29581755)-sin(-0.29586340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956564128225506-0.956550760936975)×R²
    abs(0.17722272-0.17717478)×1.33672885300751e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.33672885300751e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.33672885300751e-05×40589641000000     		ar = 85342.1610553721m²