Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6923 / 5420
↖ ↑ ↗
← N 76.069092°
W103.941650°		 ← 294.11 m → N 76.069092°
W103.930664°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 76.066446°
W103.941650°		 ← 294.17 m →
86 521 m²		 N 76.066446°
W103.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211288452148438 y=0.165420532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211288452148438 × 215)
    floor (0.211288452148438 × 32768)
    floor (6923.5)     		tx = 6923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165420532226562 × 215)
    floor (0.165420532226562 × 32768)
    floor (5420.5)     		ty = 5420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6923 / 5420 ti = "15/6923/5420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6923/5420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6923 ÷ 215
    6923 ÷ 32768     		x = 0.211273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5420 ÷ 215
    5420 ÷ 32768     		y = 0.1654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.211273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.57745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81412403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1654052734375 × 2 - 1) × π
    0.669189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10232066973718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81412403} λ = -1.81412403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10232066973718))-π/2
    2×atan(8.18514290245924)-π/2
    2×1.4492262185311-π/2
    2.89845243706219-1.57079632675     		φ = 1.32765611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81412403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.941650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32765611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.069092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6923 KachelY 5420 -1.81412403 1.32765611 -103.941650 76.069092
    Oben rechts KachelX + 1 6924 KachelY 5420 -1.81393228 1.32765611 -103.930664 76.069092
    Unten links KachelX 6923 KachelY + 1 5421 -1.81412403 1.32760994 -103.941650 76.066446
    Unten rechts KachelX + 1 6924 KachelY + 1 5421 -1.81393228 1.32760994 -103.930664 76.066446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32765611-1.32760994) × R
    4.61699999998455e-05 × 6371000     		dl = 294.149069999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32765611-1.32760994) × R
    4.61699999998455e-05 × 6371000     		dr = 294.149069999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81412403--1.81393228) × cos(1.32765611) × R
    0.000191750000000157 × 0.240751661249022 × 6371000     		do = 294.11167888475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81412403--1.81393228) × cos(1.32760994) × R
    0.000191750000000157 × 0.240796472982612 × 6371000     		du = 294.166422657364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32765611)-sin(1.32760994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240751661249022-0.240796472982612)×R²
    abs(-1.81393228--1.81412403)×4.48117335903053e-05×R²
    0.000191750000000157×4.48117335903053e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.48117335903053e-05×40589641000000     		ar = 86520.7282501785m²