Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6923 / 5337
↖ ↑ ↗
← N 53.001562°
W 27.883300°		 ← 1 470.31 m → N 53.001562°
W 27.861328°		 →
↑
1 470.55 m
↓
↑
1 470.55 m
↓
N 52.988337°
W 27.883300°		 ← 1 470.76 m →
2 162 502 m²		 N 52.988337°
W 27.861328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422576904296875 y=0.325775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422576904296875 × 214)
    floor (0.422576904296875 × 16384)
    floor (6923.5)     		tx = 6923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325775146484375 × 214)
    floor (0.325775146484375 × 16384)
    floor (5337.5)     		ty = 5337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6923 / 5337 ti = "14/6923/5337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6923/5337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6923 ÷ 214
    6923 ÷ 16384     		x = 0.42254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5337 ÷ 214
    5337 ÷ 16384     		y = 0.32574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.1549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48665540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32574462890625 × 2 - 1) × π
    0.3485107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09487878732208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48665540} λ = -0.48665540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09487878732208))-π/2
    2×atan(2.98882037851394)-π/2
    2×1.24792404858425-π/2
    2.4958480971685-1.57079632675     		φ = 0.92505177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48665540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.883300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92505177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.001562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6923 KachelY 5337 -0.48665540 0.92505177 -27.883300 53.001562
    Oben rechts KachelX + 1 6924 KachelY 5337 -0.48627191 0.92505177 -27.861328 53.001562
    Unten links KachelX 6923 KachelY + 1 5338 -0.48665540 0.92482095 -27.883300 52.988337
    Unten rechts KachelX + 1 6924 KachelY + 1 5338 -0.48627191 0.92482095 -27.861328 52.988337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92505177-0.92482095) × R
    0.000230820000000076 × 6371000     		dl = 1470.55422000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92505177-0.92482095) × R
    0.000230820000000076 × 6371000     		dr = 1470.55422000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48665540--0.48627191) × cos(0.92505177) × R
    0.000383490000000042 × 0.601793246978722 × 6371000     		do = 1470.3101615407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48665540--0.48627191) × cos(0.92482095) × R
    0.000383490000000042 × 0.601977575781921 × 6371000     		du = 1470.7605163989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92505177)-sin(0.92482095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601793246978722-0.601977575781921)×R²
    abs(-0.48627191--0.48665540)×0.000184328803199185×R²
    0.000383490000000042×0.000184328803199185×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184328803199185×40589641000000     		ar = 2162501.95798233m²