Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69225 / 72361
↖ ↑ ↗
← S 18.419684°
E 10.132141°		 ← 289.78 m → S 18.419684°
E 10.134888°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
S 18.422290°
E 10.132141°		 ← 289.77 m →
83 963 m²		 S 18.422290°
E 10.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528148651123047 y=0.552074432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528148651123047 × 217)
    floor (0.528148651123047 × 131072)
    floor (69225.5)     		tx = 69225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552074432373047 × 217)
    floor (0.552074432373047 × 131072)
    floor (72361.5)     		ty = 72361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69225 / 72361 ti = "17/69225/72361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69225/72361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69225 ÷ 217
    69225 ÷ 131072     		x = 0.528144836425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72361 ÷ 217
    72361 ÷ 131072     		y = 0.552070617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528144836425781 × 2 - 1) × π
    0.0562896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17683922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552070617675781 × 2 - 1) × π
    -0.104141235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.327169339906883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17683922} λ = 0.17683922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327169339906883))-π/2
    2×atan(0.720961645111024)-π/2
    2×0.624656092146983-π/2
    1.24931218429397-1.57079632675     		φ = -0.32148414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17683922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.132141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32148414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.419684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69225 KachelY 72361 0.17683922 -0.32148414 10.132141 -18.419684
    Oben rechts KachelX + 1 69226 KachelY 72361 0.17688716 -0.32148414 10.134888 -18.419684
    Unten links KachelX 69225 KachelY + 1 72362 0.17683922 -0.32152962 10.132141 -18.422290
    Unten rechts KachelX + 1 69226 KachelY + 1 72362 0.17688716 -0.32152962 10.134888 -18.422290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32148414--0.32152962) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dl = 289.753080000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32148414--0.32152962) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dr = 289.753080000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17683922-0.17688716) × cos(-0.32148414) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94876751201183 × 6371000     		do = 289.77801944415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17683922-0.17688716) × cos(-0.32152962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948753140487064 × 6371000     		du = 289.773630010563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32148414)-sin(-0.32152962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94876751201183-0.948753140487064)×R²
    abs(0.17688716-0.17683922)×1.43715247664655e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43715247664655e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43715247664655e-05×40589641000000     		ar = 83963.4377388366m²