Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69224 / 97176
↖ ↑ ↗
← S 65.247508°
E 10.129395°		 ← 127.85 m → S 65.247508°
E 10.132141°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
S 65.248658°
E 10.129395°		 ← 127.85 m →
16 348 m²		 S 65.248658°
E 10.132141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528141021728516 y=0.741397857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528141021728516 × 217)
    floor (0.528141021728516 × 131072)
    floor (69224.5)     		tx = 69224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741397857666016 × 217)
    floor (0.741397857666016 × 131072)
    floor (97176.5)     		ty = 97176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69224 / 97176 ti = "17/69224/97176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69224/97176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69224 ÷ 217
    69224 ÷ 131072     		x = 0.52813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97176 ÷ 217
    97176 ÷ 131072     		y = 0.74139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    0.0562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17679129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.4827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17679129} λ = 0.17679129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51672350397858))-π/2
    2×atan(0.219429670845544)-π/2
    2×0.216006240341136-π/2
    0.432012480682271-1.57079632675     		φ = -1.13878385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17679129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13878385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.247508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69224 KachelY 97176 0.17679129 -1.13878385 10.129395 -65.247508
    Oben rechts KachelX + 1 69225 KachelY 97176 0.17683922 -1.13878385 10.132141 -65.247508
    Unten links KachelX 69224 KachelY + 1 97177 0.17679129 -1.13880392 10.129395 -65.248658
    Unten rechts KachelX + 1 69225 KachelY + 1 97177 0.17683922 -1.13880392 10.132141 -65.248658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13878385--1.13880392) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13878385--1.13880392) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17679129-0.17683922) × cos(-1.13878385) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418699229496819 × 6371000     		do = 127.854846678589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17679129-0.17683922) × cos(-1.13880392) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418681003344411 × 6371000     		du = 127.84928110369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13878385)-sin(-1.13880392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418699229496819-0.418681003344411)×R²
    abs(0.17683922-0.17679129)×1.82261524082628e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82261524082628e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82261524082628e-05×40589641000000     		ar = 16347.9281663432m²