Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6922 / 5410
↖ ↑ ↗
← N 76.095517°
W103.952637°		 ← 293.56 m → N 76.095517°
W103.941650°		 →
↑
293.64 m
↓
↑
293.64 m
↓
N 76.092876°
W103.952637°		 ← 293.62 m →
86 210 m²		 N 76.092876°
W103.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211257934570312 y=0.165115356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211257934570312 × 215)
    floor (0.211257934570312 × 32768)
    floor (6922.5)     		tx = 6922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165115356445312 × 215)
    floor (0.165115356445312 × 32768)
    floor (5410.5)     		ty = 5410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6922 / 5410 ti = "15/6922/5410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6922/5410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6922 ÷ 215
    6922 ÷ 32768     		x = 0.21124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5410 ÷ 215
    5410 ÷ 32768     		y = 0.16510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.5775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.81431578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    0.6697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10423814572198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81431578} λ = -1.81431578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10423814572198))-π/2
    2×atan(8.20085277424442)-π/2
    2×1.44945682163543-π/2
    2.89891364327087-1.57079632675     		φ = 1.32811732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81431578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32811732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.095517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6922 KachelY 5410 -1.81431578 1.32811732 -103.952637 76.095517
    Oben rechts KachelX + 1 6923 KachelY 5410 -1.81412403 1.32811732 -103.941650 76.095517
    Unten links KachelX 6922 KachelY + 1 5411 -1.81431578 1.32807123 -103.952637 76.092876
    Unten rechts KachelX + 1 6923 KachelY + 1 5411 -1.81412403 1.32807123 -103.941650 76.092876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32811732-1.32807123) × R
    4.60900000001097e-05 × 6371000     		dl = 293.639390000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32811732-1.32807123) × R
    4.60900000001097e-05 × 6371000     		dr = 293.639390000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81431578--1.81412403) × cos(1.32811732) × R
    0.000191749999999935 × 0.240303991344617 × 6371000     		do = 293.564787758145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81431578--1.81412403) × cos(1.32807123) × R
    0.000191749999999935 × 0.240348730545572 × 6371000     		du = 293.619442922046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32811732)-sin(1.32807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240303991344617-0.240348730545572)×R²
    abs(-1.81412403--1.81431578)×4.47392009553793e-05×R²
    0.000191749999999935×4.47392009553793e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.47392009553793e-05×40589641000000     		ar = 86210.2096720561m²