Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6921 / 1811
↖ ↑ ↗
← N 80.107246°
W 27.927246°		 ← 419.77 m → N 80.107246°
W 27.905273°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
N 80.103470°
W 27.927246°		 ← 419.92 m →
176 272 m²		 N 80.103470°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422454833984375 y=0.110565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422454833984375 × 214)
    floor (0.422454833984375 × 16384)
    floor (6921.5)     		tx = 6921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110565185546875 × 214)
    floor (0.110565185546875 × 16384)
    floor (1811.5)     		ty = 1811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6921 / 1811 ti = "14/6921/1811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6921/1811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6921 ÷ 214
    6921 ÷ 16384     		x = 0.42242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1811 ÷ 214
    1811 ÷ 16384     		y = 0.11053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1551513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48742240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11053466796875 × 2 - 1) × π
    0.7789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44708285180463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48742240} λ = -0.48742240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44708285180463))-π/2
    2×atan(11.5545910535813)-π/2
    2×1.48446575588722-π/2
    2.96893151177443-1.57079632675     		φ = 1.39813519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48742240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.927246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39813519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.107246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6921 KachelY 1811 -0.48742240 1.39813519 -27.927246 80.107246
    Oben rechts KachelX + 1 6922 KachelY 1811 -0.48703890 1.39813519 -27.905273 80.107246
    Unten links KachelX 6921 KachelY + 1 1812 -0.48742240 1.39806929 -27.927246 80.103470
    Unten rechts KachelX + 1 6922 KachelY + 1 1812 -0.48703890 1.39806929 -27.905273 80.103470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39813519-1.39806929) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dl = 419.848900000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39813519-1.39806929) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dr = 419.848900000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48742240--0.48703890) × cos(1.39813519) × R
    0.000383499999999981 × 0.171804522814457 × 6371000     		do = 419.766296795301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48742240--0.48703890) × cos(1.39806929) × R
    0.000383499999999981 × 0.171869442578226 × 6371000     		du = 419.924913858342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39813519)-sin(1.39806929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171804522814457-0.171869442578226)×R²
    abs(-0.48703890--0.48742240)×6.49197637687393e-05×R²
    0.000383499999999981×6.49197637687393e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.49197637687393e-05×40589641000000     		ar = 176271.715629562m²