Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6920 / 5527
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
W 27.949219°		 ← 1 556.85 m → N 50.415519°
W 27.927246°		 →
↑
1 557.14 m
↓
↑
1 557.14 m
↓
N 50.401515°
W 27.949219°		 ← 1 557.31 m →
2 424 591 m²		 N 50.401515°
W 27.927246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422393798828125 y=0.337371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422393798828125 × 214)
    floor (0.422393798828125 × 16384)
    floor (6920.5)     		tx = 6920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337371826171875 × 214)
    floor (0.337371826171875 × 16384)
    floor (5527.5)     		ty = 5527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6920 / 5527 ti = "14/6920/5527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6920/5527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6920 ÷ 214
    6920 ÷ 16384     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5527 ÷ 214
    5527 ÷ 16384     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6920 KachelY 5527 -0.48780589 0.87991680 -27.949219 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 6921 KachelY 5527 -0.48742240 0.87991680 -27.927246 50.415519
    Unten links KachelX 6920 KachelY + 1 5528 -0.48780589 0.87967239 -27.949219 50.401515
    Unten rechts KachelX + 1 6921 KachelY + 1 5528 -0.48742240 0.87967239 -27.927246 50.401515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87967239) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dl = 1557.13611000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87967239) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dr = 1557.13611000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48742240) × cos(0.87991680) × R
    0.000383490000000042 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 1556.85376589173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48742240) × cos(0.87967239) × R
    0.000383490000000042 × 0.637403611766001 × 6371000     		du = 1557.31393146628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87967239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637403611766001)×R²
    abs(-0.48742240--0.48780589)×0.000188344298027499×R²
    0.000383490000000042×0.000188344298027499×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188344298027499×40589641000000     		ar = 2424591.49914701m²