Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6920 / 5336
↖ ↑ ↗
← N 53.014783°
W 27.949219°		 ← 1 469.86 m → N 53.014783°
W 27.927246°		 →
↑
1 470.11 m
↓
↑
1 470.11 m
↓
N 53.001562°
W 27.949219°		 ← 1 470.31 m →
2 161 184 m²		 N 53.001562°
W 27.927246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422393798828125 y=0.325714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422393798828125 × 214)
    floor (0.422393798828125 × 16384)
    floor (6920.5)     		tx = 6920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325714111328125 × 214)
    floor (0.325714111328125 × 16384)
    floor (5336.5)     		ty = 5336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6920 / 5336 ti = "14/6920/5336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6920/5336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6920 ÷ 214
    6920 ÷ 16384     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5336 ÷ 214
    5336 ÷ 16384     		y = 0.32568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32568359375 × 2 - 1) × π
    0.3486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09526228251904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09526228251904))-π/2
    2×atan(2.98996679658254)-π/2
    2×1.24803942332372-π/2
    2.49607884664743-1.57079632675     		φ = 0.92528252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92528252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.014783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6920 KachelY 5336 -0.48780589 0.92528252 -27.949219 53.014783
    Oben rechts KachelX + 1 6921 KachelY 5336 -0.48742240 0.92528252 -27.927246 53.014783
    Unten links KachelX 6920 KachelY + 1 5337 -0.48780589 0.92505177 -27.949219 53.001562
    Unten rechts KachelX + 1 6921 KachelY + 1 5337 -0.48742240 0.92505177 -27.927246 53.001562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92528252-0.92505177) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dl = 1470.10824999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92528252-0.92505177) × R
    0.000230749999999946 × 6371000     		dr = 1470.10824999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48742240) × cos(0.92528252) × R
    0.000383490000000042 × 0.601608942028614 × 6371000     		do = 1469.85986496072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48742240) × cos(0.92505177) × R
    0.000383490000000042 × 0.601793246978722 × 6371000     		du = 1470.3101615407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92528252)-sin(0.92505177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601608942028614-0.601793246978722)×R²
    abs(-0.48742240--0.48780589)×0.000184304950108016×R²
    0.000383490000000042×0.000184304950108016×6371000²
    0.000383490000000042×0.000184304950108016×40589641000000     		ar = 2161184.11577025m²