Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69197 / 72268
↖ ↑ ↗
← S 18.177169°
E 10.055237°		 ← 290.18 m → S 18.177169°
E 10.057984°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.179778°
E 10.055237°		 ← 290.18 m →
84 210 m²		 S 18.179778°
E 10.057984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527935028076172 y=0.551364898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527935028076172 × 217)
    floor (0.527935028076172 × 131072)
    floor (69197.5)     		tx = 69197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551364898681641 × 217)
    floor (0.551364898681641 × 131072)
    floor (72268.5)     		ty = 72268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69197 / 72268 ti = "17/69197/72268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69197/72268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69197 ÷ 217
    69197 ÷ 131072     		x = 0.527931213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72268 ÷ 217
    72268 ÷ 131072     		y = 0.551361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527931213378906 × 2 - 1) × π
    0.0558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17549699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.10272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.322711208242218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17549699} λ = 0.17549699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322711208242218))-π/2
    2×atan(0.724182962242768)-π/2
    2×0.62677244133277-π/2
    1.25354488266554-1.57079632675     		φ = -0.31725144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17549699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.055237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31725144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.177169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69197 KachelY 72268 0.17549699 -0.31725144 10.055237 -18.177169
    Oben rechts KachelX + 1 69198 KachelY 72268 0.17554493 -0.31725144 10.057984 -18.177169
    Unten links KachelX 69197 KachelY + 1 72269 0.17549699 -0.31729699 10.055237 -18.179778
    Unten rechts KachelX + 1 69198 KachelY + 1 72269 0.17554493 -0.31729699 10.057984 -18.179778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31725144--0.31729699) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31725144--0.31729699) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17549699-0.17554493) × cos(-0.31725144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950096436523487 × 6371000     		do = 290.183907196527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17549699-0.17554493) × cos(-0.31729699) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950082225926338 × 6371000     		du = 290.179566914377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31725144)-sin(-0.31729699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950096436523487-0.950082225926338)×R²
    abs(0.17554493-0.17549699)×1.42105971497886e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42105971497886e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42105971497886e-05×40589641000000     		ar = 84210.464435431m²