Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69194 / 72242
↖ ↑ ↗
← S 18.109308°
E 10.046997°		 ← 290.30 m → S 18.109308°
E 10.049744°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
S 18.111918°
E 10.046997°		 ← 290.29 m →
84 262 m²		 S 18.111918°
E 10.049744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527912139892578 y=0.551166534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527912139892578 × 217)
    floor (0.527912139892578 × 131072)
    floor (69194.5)     		tx = 69194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551166534423828 × 217)
    floor (0.551166534423828 × 131072)
    floor (72242.5)     		ty = 72242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69194 / 72242 ti = "17/69194/72242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69194/72242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69194 ÷ 217
    69194 ÷ 131072     		x = 0.527908325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72242 ÷ 217
    72242 ÷ 131072     		y = 0.551162719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527908325195312 × 2 - 1) × π
    0.055816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17535318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551162719726562 × 2 - 1) × π
    -0.102325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.321464848852097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17535318} λ = 0.17535318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321464848852097))-π/2
    2×atan(0.725086117188835)-π/2
    2×0.627364637119425-π/2
    1.25472927423885-1.57079632675     		φ = -0.31606705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17535318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.046997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31606705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.109308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69194 KachelY 72242 0.17535318 -0.31606705 10.046997 -18.109308
    Oben rechts KachelX + 1 69195 KachelY 72242 0.17540112 -0.31606705 10.049744 -18.109308
    Unten links KachelX 69194 KachelY + 1 72243 0.17535318 -0.31611261 10.046997 -18.111918
    Unten rechts KachelX + 1 69195 KachelY + 1 72243 0.17540112 -0.31611261 10.049744 -18.111918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31606705--0.31611261) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31606705--0.31611261) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17535318-0.17540112) × cos(-0.31606705) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95046524802488 × 6371000     		do = 290.29655172226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17535318-0.17540112) × cos(-0.31611261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95045108558528 × 6371000     		du = 290.292226148665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31606705)-sin(-0.31611261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95046524802488-0.95045108558528)×R²
    abs(0.17540112-0.17535318)×1.41624396005069e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41624396005069e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41624396005069e-05×40589641000000     		ar = 84261.6505595526m²