Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69191 / 72253
↖ ↑ ↗
← S 18.138022°
E 10.038757°		 ← 290.25 m → S 18.138022°
E 10.041504°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.140632°
E 10.038757°		 ← 290.24 m →
84 229 m²		 S 18.140632°
E 10.041504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527889251708984 y=0.551250457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527889251708984 × 217)
    floor (0.527889251708984 × 131072)
    floor (69191.5)     		tx = 69191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551250457763672 × 217)
    floor (0.551250457763672 × 131072)
    floor (72253.5)     		ty = 72253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69191 / 72253 ti = "17/69191/72253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69191/72253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69191 ÷ 217
    69191 ÷ 131072     		x = 0.527885437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72253 ÷ 217
    72253 ÷ 131072     		y = 0.551246643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527885437011719 × 2 - 1) × π
    0.0557708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17520937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551246643066406 × 2 - 1) × π
    -0.102493286132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.321992154747917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17520937} λ = 0.17520937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321992154747917))-π/2
    2×atan(0.724703875792192)-π/2
    2×0.627114064700934-π/2
    1.25422812940187-1.57079632675     		φ = -0.31656820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17520937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.038757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31656820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.138022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69191 KachelY 72253 0.17520937 -0.31656820 10.038757 -18.138022
    Oben rechts KachelX + 1 69192 KachelY 72253 0.17525731 -0.31656820 10.041504 -18.138022
    Unten links KachelX 69191 KachelY + 1 72254 0.17520937 -0.31661375 10.038757 -18.140632
    Unten rechts KachelX + 1 69192 KachelY + 1 72254 0.17525731 -0.31661375 10.041504 -18.140632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31656820--0.31661375) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31656820--0.31661375) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17520937-0.17525731) × cos(-0.31656820) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950309355799666 × 6371000     		do = 290.248938224014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17520937-0.17525731) × cos(-0.31661375) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950295174774114 × 6371000     		du = 290.244606973791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31656820)-sin(-0.31661375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950309355799666-0.950295174774114)×R²
    abs(0.17525731-0.17520937)×1.41810255521735e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41810255521735e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41810255521735e-05×40589641000000     		ar = 84229.3376883925m²