Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6919 / 2224
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
W 27.971192°		 ← 490.45 m → N 78.420193°
W 27.949219°		 →
↑
490.50 m
↓
↑
490.50 m
↓
N 78.415782°
W 27.971192°		 ← 490.63 m →
240 610 m²		 N 78.415782°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422332763671875 y=0.135772705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422332763671875 × 214)
    floor (0.422332763671875 × 16384)
    floor (6919.5)     		tx = 6919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135772705078125 × 214)
    floor (0.135772705078125 × 16384)
    floor (2224.5)     		ty = 2224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6919 / 2224 ti = "14/6919/2224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6919/2224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6919 ÷ 214
    6919 ÷ 16384     		x = 0.42230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2224 ÷ 214
    2224 ÷ 16384     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48818939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48818939} λ = -0.48818939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48818939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.971192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6919 KachelY 2224 -0.48818939 1.36869057 -27.971192 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 6920 KachelY 2224 -0.48780589 1.36869057 -27.949219 78.420193
    Unten links KachelX 6919 KachelY + 1 2225 -0.48818939 1.36861358 -27.971192 78.415782
    Unten rechts KachelX + 1 6920 KachelY + 1 2225 -0.48780589 1.36861358 -27.949219 78.415782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36861358) × R
    7.69899999999435e-05 × 6371000     		dl = 490.50328999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36861358) × R
    7.69899999999435e-05 × 6371000     		dr = 490.50328999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48818939--0.48780589) × cos(1.36869057) × R
    0.000383499999999981 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 490.445818458487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48818939--0.48780589) × cos(1.36861358) × R
    0.000383499999999981 × 0.200808093009679 × 6371000     		du = 490.630096276524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36861358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.200808093009679)×R²
    abs(-0.48780589--0.48818939)×7.54223548553035e-05×R²
    0.000383499999999981×7.54223548553035e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.54223548553035e-05×40589641000000     		ar = 240610.482076323m²