Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69188 / 96588
↖ ↑ ↗
← S 64.562600°
E 10.030518°		 ← 131.16 m → S 64.562600°
E 10.033264°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
S 64.563780°
E 10.030518°		 ← 131.15 m →
17 205 m²		 S 64.563780°
E 10.033264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527866363525391 y=0.736911773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527866363525391 × 217)
    floor (0.527866363525391 × 131072)
    floor (69188.5)     		tx = 69188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736911773681641 × 217)
    floor (0.736911773681641 × 131072)
    floor (96588.5)     		ty = 96588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69188 / 96588 ti = "17/69188/96588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69188/96588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69188 ÷ 217
    69188 ÷ 131072     		x = 0.527862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96588 ÷ 217
    96588 ÷ 131072     		y = 0.736907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527862548828125 × 2 - 1) × π
    0.05572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17506556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.47381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48853660700198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17506556} λ = 0.17506556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48853660700198))-π/2
    2×atan(0.225702705743177)-π/2
    2×0.221983187051187-π/2
    0.443966374102375-1.57079632675     		φ = -1.12682995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17506556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.030518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12682995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.562600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69188 KachelY 96588 0.17506556 -1.12682995 10.030518 -64.562600
    Oben rechts KachelX + 1 69189 KachelY 96588 0.17511349 -1.12682995 10.033264 -64.562600
    Unten links KachelX 69188 KachelY + 1 96589 0.17506556 -1.12685054 10.030518 -64.563780
    Unten rechts KachelX + 1 69189 KachelY + 1 96589 0.17511349 -1.12685054 10.033264 -64.563780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12682995--1.12685054) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dl = 131.17888999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12682995--1.12685054) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dr = 131.17888999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17506556-0.17511349) × cos(-1.12682995) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429524691192493 × 6371000     		do = 131.160531637667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17506556-0.17511349) × cos(-1.12685054) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429506097196641 × 6371000     		du = 131.154853737348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12682995)-sin(-1.12685054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429524691192493-0.429506097196641)×R²
    abs(0.17511349-0.17506556)×1.85939958523007e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85939958523007e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85939958523007e-05×40589641000000     		ar = 17205.1205422504m²