Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69187 / 72244
↖ ↑ ↗
← S 18.114529°
E 10.027771°		 ← 290.29 m → S 18.114529°
E 10.030518°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
S 18.117140°
E 10.027771°		 ← 290.28 m →
84 259 m²		 S 18.117140°
E 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527858734130859 y=0.551181793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527858734130859 × 217)
    floor (0.527858734130859 × 131072)
    floor (69187.5)     		tx = 69187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551181793212891 × 217)
    floor (0.551181793212891 × 131072)
    floor (72244.5)     		ty = 72244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69187 / 72244 ti = "17/69187/72244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69187/72244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69187 ÷ 217
    69187 ÷ 131072     		x = 0.527854919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72244 ÷ 217
    72244 ÷ 131072     		y = 0.551177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527854919433594 × 2 - 1) × π
    0.0557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17501762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.321560722651337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17501762} λ = 0.17501762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321560722651337))-π/2
    2×atan(0.725016603760316)-π/2
    2×0.627319075441224-π/2
    1.25463815088245-1.57079632675     		φ = -0.31615818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17501762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.027771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31615818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.114529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69187 KachelY 72244 0.17501762 -0.31615818 10.027771 -18.114529
    Oben rechts KachelX + 1 69188 KachelY 72244 0.17506556 -0.31615818 10.030518 -18.114529
    Unten links KachelX 69187 KachelY + 1 72245 0.17501762 -0.31620374 10.027771 -18.117140
    Unten rechts KachelX + 1 69188 KachelY + 1 72245 0.17506556 -0.31620374 10.030518 -18.117140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31615818--0.31620374) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31615818--0.31620374) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17501762-0.17506556) × cos(-0.31615818) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950436918063641 × 6371000     		do = 290.287899022885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17501762-0.17506556) × cos(-0.31620374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950422751677908 × 6371000     		du = 290.283572244039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31615818)-sin(-0.31620374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950436918063641-0.950422751677908)×R²
    abs(0.17506556-0.17501762)×1.41663857325947e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41663857325947e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41663857325947e-05×40589641000000     		ar = 84259.1388281576m²