Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69187 / 72133
↖ ↑ ↗
← S 17.824530°
E 10.027771°		 ← 290.76 m → S 17.824530°
E 10.030518°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
S 17.827145°
E 10.027771°		 ← 290.76 m →
84 546 m²		 S 17.827145°
E 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527858734130859 y=0.550334930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527858734130859 × 217)
    floor (0.527858734130859 × 131072)
    floor (69187.5)     		tx = 69187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550334930419922 × 217)
    floor (0.550334930419922 × 131072)
    floor (72133.5)     		ty = 72133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69187 / 72133 ti = "17/69187/72133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69187/72133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69187 ÷ 217
    69187 ÷ 131072     		x = 0.527854919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72133 ÷ 217
    72133 ÷ 131072     		y = 0.550331115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527854919433594 × 2 - 1) × π
    0.0557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17501762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550331115722656 × 2 - 1) × π
    -0.100662231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.31623972679351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17501762} λ = 0.17501762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31623972679351))-π/2
    2×atan(0.728884696030818)-π/2
    2×0.629849792924872-π/2
    1.25969958584974-1.57079632675     		φ = -0.31109674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17501762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.027771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31109674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.824530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69187 KachelY 72133 0.17501762 -0.31109674 10.027771 -17.824530
    Oben rechts KachelX + 1 69188 KachelY 72133 0.17506556 -0.31109674 10.030518 -17.824530
    Unten links KachelX 69187 KachelY + 1 72134 0.17501762 -0.31114238 10.027771 -17.827145
    Unten rechts KachelX + 1 69188 KachelY + 1 72134 0.17506556 -0.31114238 10.030518 -17.827145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31109674--0.31114238) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dl = 290.772440000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31109674--0.31114238) × R
    4.56400000000134e-05 × 6371000     		dr = 290.772440000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17501762-0.17506556) × cos(-0.31109674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.951998427192108 × 6371000     		do = 290.764824103963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17501762-0.17506556) × cos(-0.31114238) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.951984455663557 × 6371000     		du = 290.760556839517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31109674)-sin(-0.31114238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951998427192108-0.951984455663557)×R²
    abs(0.17506556-0.17501762)×1.39715285506492e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.39715285506492e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39715285506492e-05×40589641000000     		ar = 84545.7769841651m²