Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69186 / 72214
↖ ↑ ↗
← S 18.036198°
E 10.025024°		 ← 290.42 m → S 18.036198°
E 10.027771°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 18.038810°
E 10.025024°		 ← 290.41 m →
84 334 m²		 S 18.038810°
E 10.027771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527851104736328 y=0.550952911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527851104736328 × 217)
    floor (0.527851104736328 × 131072)
    floor (69186.5)     		tx = 69186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550952911376953 × 217)
    floor (0.550952911376953 × 131072)
    floor (72214.5)     		ty = 72214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69186 / 72214 ti = "17/69186/72214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69186/72214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69186 ÷ 217
    69186 ÷ 131072     		x = 0.527847290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72214 ÷ 217
    72214 ÷ 131072     		y = 0.550949096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527847290039062 × 2 - 1) × π
    0.055694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17496968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550949096679688 × 2 - 1) × π
    -0.101898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.320122615662735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17496968} λ = 0.17496968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320122615662735))-π/2
    2×atan(0.726060005286723)-π/2
    2×0.628002643027591-π/2
    1.25600528605518-1.57079632675     		φ = -0.31479104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17496968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.025024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31479104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.036198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69186 KachelY 72214 0.17496968 -0.31479104 10.025024 -18.036198
    Oben rechts KachelX + 1 69187 KachelY 72214 0.17501762 -0.31479104 10.027771 -18.036198
    Unten links KachelX 69186 KachelY + 1 72215 0.17496968 -0.31483662 10.025024 -18.038810
    Unten rechts KachelX + 1 69187 KachelY + 1 72215 0.17501762 -0.31483662 10.027771 -18.038810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31479104--0.31483662) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31479104--0.31483662) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17496968-0.17501762) × cos(-0.31479104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.95086109740549 × 6371000     		do = 290.41745431243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17496968-0.17501762) × cos(-0.31483662) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.950846984039082 × 6371000     		du = 290.413143727051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31479104)-sin(-0.31483662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95086109740549-0.950846984039082)×R²
    abs(0.17501762-0.17496968)×1.41133664077753e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.41133664077753e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.41133664077753e-05×40589641000000     		ar = 84333.7509716152m²