Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69185 / 72247
↖ ↑ ↗
← S 18.122361°
E 10.022278°		 ← 290.21 m → S 18.122361°
E 10.025024°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.124970°
E 10.022278°		 ← 290.21 m →
84 219 m²		 S 18.124970°
E 10.025024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527843475341797 y=0.551204681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527843475341797 × 217)
    floor (0.527843475341797 × 131072)
    floor (69185.5)     		tx = 69185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551204681396484 × 217)
    floor (0.551204681396484 × 131072)
    floor (72247.5)     		ty = 72247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69185 / 72247 ti = "17/69185/72247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69185/72247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69185 ÷ 217
    69185 ÷ 131072     		x = 0.527839660644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72247 ÷ 217
    72247 ÷ 131072     		y = 0.551200866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527839660644531 × 2 - 1) × π
    0.0556793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17492175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551200866699219 × 2 - 1) × π
    -0.102401733398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.321704533350197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17492175} λ = 0.17492175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321704533350197))-π/2
    2×atan(0.724912346112706)-π/2
    2×0.627250735470503-π/2
    1.25450147094101-1.57079632675     		φ = -0.31629486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17492175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.022278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31629486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.122361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69185 KachelY 72247 0.17492175 -0.31629486 10.022278 -18.122361
    Oben rechts KachelX + 1 69186 KachelY 72247 0.17496968 -0.31629486 10.025024 -18.122361
    Unten links KachelX 69185 KachelY + 1 72248 0.17492175 -0.31634041 10.022278 -18.124970
    Unten rechts KachelX + 1 69186 KachelY + 1 72248 0.17496968 -0.31634041 10.025024 -18.124970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31629486--0.31634041) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31629486--0.31634041) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17492175-0.17496968) × cos(-0.31629486) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.950394412988056 × 6371000     		do = 290.214367250701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17492175-0.17496968) × cos(-0.31634041) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.950380243794902 × 6371000     		du = 290.210040517116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31629486)-sin(-0.31634041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950394412988056-0.950380243794902)×R²
    abs(0.17496968-0.17492175)×1.41691931540011e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.41691931540011e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.41691931540011e-05×40589641000000     		ar = 84219.3058801093m²