Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69184 / 72255
↖ ↑ ↗
← S 18.143242°
E 10.019531°		 ← 290.24 m → S 18.143242°
E 10.022278°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.145852°
E 10.019531°		 ← 290.24 m →
84 227 m²		 S 18.145852°
E 10.022278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527835845947266 y=0.551265716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527835845947266 × 217)
    floor (0.527835845947266 × 131072)
    floor (69184.5)     		tx = 69184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551265716552734 × 217)
    floor (0.551265716552734 × 131072)
    floor (72255.5)     		ty = 72255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69184 / 72255 ti = "17/69184/72255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69184/72255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69184 ÷ 217
    69184 ÷ 131072     		x = 0.52783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72255 ÷ 217
    72255 ÷ 131072     		y = 0.551261901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551261901855469 × 2 - 1) × π
    -0.102523803710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.322088028547157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17487381} λ = 0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322088028547157))-π/2
    2×atan(0.724634399008851)-π/2
    2×0.627068510496575-π/2
    1.25413702099315-1.57079632675     		φ = -0.31665931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31665931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.143242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69184 KachelY 72255 0.17487381 -0.31665931 10.019531 -18.143242
    Oben rechts KachelX + 1 69185 KachelY 72255 0.17492175 -0.31665931 10.022278 -18.143242
    Unten links KachelX 69184 KachelY + 1 72256 0.17487381 -0.31670486 10.019531 -18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 69185 KachelY + 1 72256 0.17492175 -0.31670486 10.022278 -18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31665931--0.31670486) × R
    4.55499999999498e-05 × 6371000     		dl = 290.19904999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31665931--0.31670486) × R
    4.55499999999498e-05 × 6371000     		dr = 290.19904999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17487381-0.17492175) × cos(-0.31665931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95028098866295 × 6371000     		do = 290.240274170291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17487381-0.17492175) × cos(-0.31670486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 290.235941715544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31665931)-sin(-0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95028098866295-0.950266803693645)×R²
    abs(0.17492175-0.17487381)×1.41849693051643e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41849693051643e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41849693051643e-05×40589641000000     		ar = 84226.8232132491m²