Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69183 / 72257
↖ ↑ ↗
← S 18.148462°
E 10.016785°		 ← 290.23 m → S 18.148462°
E 10.019531°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
S 18.151071°
E 10.016785°		 ← 290.23 m →
84 224 m²		 S 18.151071°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527828216552734 y=0.551280975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527828216552734 × 217)
    floor (0.527828216552734 × 131072)
    floor (69183.5)     		tx = 69183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551280975341797 × 217)
    floor (0.551280975341797 × 131072)
    floor (72257.5)     		ty = 72257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69183 / 72257 ti = "17/69183/72257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69183/72257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69183 ÷ 217
    69183 ÷ 131072     		x = 0.527824401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72257 ÷ 217
    72257 ÷ 131072     		y = 0.551277160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527824401855469 × 2 - 1) × π
    0.0556488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17482587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551277160644531 × 2 - 1) × π
    -0.102554321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.322183902346397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17482587} λ = 0.17482587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322183902346397))-π/2
    2×atan(0.724564928886193)-π/2
    2×0.627022957652193-π/2
    1.25404591530439-1.57079632675     		φ = -0.31675041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17482587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.016785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31675041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.148462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69183 KachelY 72257 0.17482587 -0.31675041 10.016785 -18.148462
    Oben rechts KachelX + 1 69184 KachelY 72257 0.17487381 -0.31675041 10.019531 -18.148462
    Unten links KachelX 69183 KachelY + 1 72258 0.17482587 -0.31679596 10.016785 -18.151071
    Unten rechts KachelX + 1 69184 KachelY + 1 72258 0.17487381 -0.31679596 10.019531 -18.151071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31675041--0.31679596) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31675041--0.31679596) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17482587-0.17487381) × cos(-0.31675041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950252616752724 × 6371000     		do = 290.231608658615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17482587-0.17487381) × cos(-0.31679596) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950238427840216 × 6371000     		du = 290.227274999512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31675041)-sin(-0.31679596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950252616752724-0.950238427840216)×R²
    abs(0.17487381-0.17482587)×1.41889125077066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41889125077066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41889125077066e-05×40589641000000     		ar = 84224.3083154338m²