Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69181 / 72215
↖ ↑ ↗
← S 18.038810°
E 10.011292°		 ← 290.41 m → S 18.038810°
E 10.014038°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 18.041421°
E 10.011292°		 ← 290.41 m →
84 332 m²		 S 18.041421°
E 10.014038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527812957763672 y=0.550960540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527812957763672 × 217)
    floor (0.527812957763672 × 131072)
    floor (69181.5)     		tx = 69181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550960540771484 × 217)
    floor (0.550960540771484 × 131072)
    floor (72215.5)     		ty = 72215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69181 / 72215 ti = "17/69181/72215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69181/72215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69181 ÷ 217
    69181 ÷ 131072     		x = 0.527809143066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72215 ÷ 217
    72215 ÷ 131072     		y = 0.550956726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527809143066406 × 2 - 1) × π
    0.0556182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17473000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550956726074219 × 2 - 1) × π
    -0.101913452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.320170552562355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17473000} λ = 0.17473000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320170552562355))-π/2
    2×atan(0.726025201055342)-π/2
    2×0.627979852530245-π/2
    1.25595970506049-1.57079632675     		φ = -0.31483662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17473000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.011292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31483662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.038810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69181 KachelY 72215 0.17473000 -0.31483662 10.011292 -18.038810
    Oben rechts KachelX + 1 69182 KachelY 72215 0.17477794 -0.31483662 10.014038 -18.038810
    Unten links KachelX 69181 KachelY + 1 72216 0.17473000 -0.31488220 10.011292 -18.041421
    Unten rechts KachelX + 1 69182 KachelY + 1 72216 0.17477794 -0.31488220 10.014038 -18.041421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31483662--0.31488220) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31483662--0.31488220) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17473000-0.17477794) × cos(-0.31483662) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950846984039082 × 6371000     		do = 290.413143726882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17473000-0.17477794) × cos(-0.31488220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950832868697255 × 6371000     		du = 290.40883253816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31483662)-sin(-0.31488220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950846984039082-0.950832868697255)×R²
    abs(0.17477794-0.17473000)×1.41153418269369e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41153418269369e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41153418269369e-05×40589641000000     		ar = 84332.4991323772m²