Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6917 / 2353
↖ ↑ ↗
← N 77.837219°
W 28.015137°		 ← 514.77 m → N 77.837219°
W 27.993164°		 →
↑
514.90 m
↓
↑
514.90 m
↓
N 77.832589°
W 28.015137°		 ← 514.97 m →
265 109 m²		 N 77.832589°
W 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422210693359375 y=0.143646240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422210693359375 × 214)
    floor (0.422210693359375 × 16384)
    floor (6917.5)     		tx = 6917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143646240234375 × 214)
    floor (0.143646240234375 × 16384)
    floor (2353.5)     		ty = 2353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6917 / 2353 ti = "14/6917/2353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6917/2353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6917 ÷ 214
    6917 ÷ 16384     		x = 0.42218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2353 ÷ 214
    2353 ÷ 16384     		y = 0.14361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48895638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14361572265625 × 2 - 1) × π
    0.7127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23922845505206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48895638} λ = -0.48895638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23922845505206))-π/2
    2×atan(9.38608670526343)-π/2
    2×1.46465604123584-π/2
    2.92931208247169-1.57079632675     		φ = 1.35851576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48895638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.015137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35851576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.837219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6917 KachelY 2353 -0.48895638 1.35851576 -28.015137 77.837219
    Oben rechts KachelX + 1 6918 KachelY 2353 -0.48857288 1.35851576 -27.993164 77.837219
    Unten links KachelX 6917 KachelY + 1 2354 -0.48895638 1.35843494 -28.015137 77.832589
    Unten rechts KachelX + 1 6918 KachelY + 1 2354 -0.48857288 1.35843494 -27.993164 77.832589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35851576-1.35843494) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dl = 514.904219999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35851576-1.35843494) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dr = 514.904219999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48895638--0.48857288) × cos(1.35851576) × R
    0.000383500000000037 × 0.210689820643005 × 6371000     		do = 514.77390894596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48895638--0.48857288) × cos(1.35843494) × R
    0.000383500000000037 × 0.210768825785455 × 6371000     		du = 514.966940511897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35851576)-sin(1.35843494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210689820643005-0.210768825785455)×R²
    abs(-0.48857288--0.48895638)×7.90051424497673e-05×R²
    0.000383500000000037×7.90051424497673e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.90051424497673e-05×40589641000000     		ar = 265108.954589473m²