Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69162 / 72210
↖ ↑ ↗
← S 18.025751°
E  9.959107°		 ← 290.37 m → S 18.025751°
E  9.961853°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 18.028363°
E  9.959107°		 ← 290.37 m →
84 321 m²		 S 18.028363°
E  9.961853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527667999267578 y=0.550922393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527667999267578 × 217)
    floor (0.527667999267578 × 131072)
    floor (69162.5)     		tx = 69162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550922393798828 × 217)
    floor (0.550922393798828 × 131072)
    floor (72210.5)     		ty = 72210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69162 / 72210 ti = "17/69162/72210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69162/72210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69162 ÷ 217
    69162 ÷ 131072     		x = 0.527664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72210 ÷ 217
    72210 ÷ 131072     		y = 0.550918579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527664184570312 × 2 - 1) × π
    0.055328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17381920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550918579101562 × 2 - 1) × π
    -0.101837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.319930868064255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17381920} λ = 0.17381920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319930868064255))-π/2
    2×atan(0.726199238897518)-π/2
    2×0.628093808399169-π/2
    1.25618761679834-1.57079632675     		φ = -0.31460871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17381920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.959107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31460871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.025751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69162 KachelY 72210 0.17381920 -0.31460871 9.959107 -18.025751
    Oben rechts KachelX + 1 69163 KachelY 72210 0.17386713 -0.31460871 9.961853 -18.025751
    Unten links KachelX 69162 KachelY + 1 72211 0.17381920 -0.31465429 9.959107 -18.028363
    Unten rechts KachelX + 1 69163 KachelY + 1 72211 0.17386713 -0.31465429 9.961853 -18.028363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31460871--0.31465429) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31460871--0.31465429) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17381920-0.17386713) × cos(-0.31460871) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.950917534210786 × 6371000     		do = 290.37410860921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17381920-0.17386713) × cos(-0.31465429) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.950903428746782 × 6371000     		du = 290.369801336087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31460871)-sin(-0.31465429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950917534210786-0.950903428746782)×R²
    abs(0.17386713-0.17381920)×1.41054640042659e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.41054640042659e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.41054640042659e-05×40589641000000     		ar = 84321.1642860368m²