Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69161 / 72209
↖ ↑ ↗
← S 18.023140°
E  9.956360°		 ← 290.44 m → S 18.023140°
E  9.959107°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 18.025751°
E  9.956360°		 ← 290.43 m →
84 340 m²		 S 18.025751°
E  9.959107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527660369873047 y=0.550914764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527660369873047 × 217)
    floor (0.527660369873047 × 131072)
    floor (69161.5)     		tx = 69161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550914764404297 × 217)
    floor (0.550914764404297 × 131072)
    floor (72209.5)     		ty = 72209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69161 / 72209 ti = "17/69161/72209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69161/72209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69161 ÷ 217
    69161 ÷ 131072     		x = 0.527656555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72209 ÷ 217
    72209 ÷ 131072     		y = 0.550910949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527656555175781 × 2 - 1) × π
    0.0553131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17377126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550910949707031 × 2 - 1) × π
    -0.101821899414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.319882931164635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17377126} λ = 0.17377126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319882931164635))-π/2
    2×atan(0.726234051471934)-π/2
    2×0.628116600587401-π/2
    1.2562332011748-1.57079632675     		φ = -0.31456313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17377126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.956360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31456313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.023140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69161 KachelY 72209 0.17377126 -0.31456313 9.956360 -18.023140
    Oben rechts KachelX + 1 69162 KachelY 72209 0.17381920 -0.31456313 9.959107 -18.023140
    Unten links KachelX 69161 KachelY + 1 72210 0.17377126 -0.31460871 9.956360 -18.025751
    Unten rechts KachelX + 1 69162 KachelY + 1 72210 0.17381920 -0.31460871 9.959107 -18.025751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31456313--0.31460871) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31456313--0.31460871) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17377126-0.17381920) × cos(-0.31456313) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950931637699224 × 6371000     		do = 290.438999133675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17377126-0.17381920) × cos(-0.31460871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.950917534210786 × 6371000     		du = 290.434691565282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31456313)-sin(-0.31460871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950931637699224-0.950917534210786)×R²
    abs(0.17381920-0.17377126)×1.41034884384439e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.41034884384439e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.41034884384439e-05×40589641000000     		ar = 84340.0078142464m²