Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69159 / 72211
↖ ↑ ↗
← S 18.028363°
E  9.950867°		 ← 290.37 m → S 18.028363°
E  9.953613°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
S 18.030975°
E  9.950867°		 ← 290.37 m →
84 338 m²		 S 18.030975°
E  9.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527645111083984 y=0.550930023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527645111083984 × 217)
    floor (0.527645111083984 × 131072)
    floor (69159.5)     		tx = 69159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550930023193359 × 217)
    floor (0.550930023193359 × 131072)
    floor (72211.5)     		ty = 72211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69159 / 72211 ti = "17/69159/72211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69159/72211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69159 ÷ 217
    69159 ÷ 131072     		x = 0.527641296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72211 ÷ 217
    72211 ÷ 131072     		y = 0.550926208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527641296386719 × 2 - 1) × π
    0.0552825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17367539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.550926208496094 × 2 - 1) × π
    -0.101852416992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.319978804963875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17367539} λ = 0.17367539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319978804963875))-π/2
    2×atan(0.726164427991869)-π/2
    2×0.62807101654903-π/2
    1.25614203309806-1.57079632675     		φ = -0.31465429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17367539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.950867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31465429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.028363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69159 KachelY 72211 0.17367539 -0.31465429 9.950867 -18.028363
    Oben rechts KachelX + 1 69160 KachelY 72211 0.17372332 -0.31465429 9.953613 -18.028363
    Unten links KachelX 69159 KachelY + 1 72212 0.17367539 -0.31469988 9.950867 -18.030975
    Unten rechts KachelX + 1 69160 KachelY + 1 72212 0.17372332 -0.31469988 9.953613 -18.030975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31465429--0.31469988) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31465429--0.31469988) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(-0.31465429) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.950903428746782 × 6371000     		do = 290.369801335919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(-0.31469988) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.95088931821193 × 6371000     		du = 290.365492514352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31465429)-sin(-0.31469988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950903428746782-0.95088931821193)×R²
    abs(0.17372332-0.17367539)×1.41105348516746e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.41105348516746e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.41105348516746e-05×40589641000000     		ar = 84338.4125942135m²