Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6915 / 2220
↖ ↑ ↗
← N 78.437822°
W 28.059082°		 ← 489.71 m → N 78.437822°
W 28.037109°		 →
↑
489.80 m
↓
↑
489.80 m
↓
N 78.433418°
W 28.059082°		 ← 489.89 m →
239 906 m²		 N 78.433418°
W 28.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422088623046875 y=0.135528564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422088623046875 × 214)
    floor (0.422088623046875 × 16384)
    floor (6915.5)     		tx = 6915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135528564453125 × 214)
    floor (0.135528564453125 × 16384)
    floor (2220.5)     		ty = 2220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6915 / 2220 ti = "14/6915/2220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6915/2220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6915 ÷ 214
    6915 ÷ 16384     		x = 0.42205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2220 ÷ 214
    2220 ÷ 16384     		y = 0.135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.1558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48972337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135498046875 × 2 - 1) × π
    0.72900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2902333162478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48972337} λ = -0.48972337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2902333162478))-π/2
    2×atan(9.87724193337953)-π/2
    2×1.46989729414963-π/2
    2.93979458829926-1.57079632675     		φ = 1.36899826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48972337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36899826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.437822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6915 KachelY 2220 -0.48972337 1.36899826 -28.059082 78.437822
    Oben rechts KachelX + 1 6916 KachelY 2220 -0.48933987 1.36899826 -28.037109 78.437822
    Unten links KachelX 6915 KachelY + 1 2221 -0.48972337 1.36892138 -28.059082 78.433418
    Unten rechts KachelX + 1 6916 KachelY + 1 2221 -0.48933987 1.36892138 -28.037109 78.433418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36899826-1.36892138) × R
    7.68799999999459e-05 × 6371000     		dl = 489.802479999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36899826-1.36892138) × R
    7.68799999999459e-05 × 6371000     		dr = 489.802479999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48972337--0.48933987) × cos(1.36899826) × R
    0.000383499999999981 × 0.20043123386263 × 6371000     		do = 489.709324425012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48972337--0.48933987) × cos(1.36892138) × R
    0.000383499999999981 × 0.200506553203817 × 6371000     		du = 489.893350551967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36899826)-sin(1.36892138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20043123386263-0.200506553203817)×R²
    abs(-0.48933987--0.48972337)×7.53193411867636e-05×R²
    0.000383499999999981×7.53193411867636e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.53193411867636e-05×40589641000000     		ar = 239905.909926712m²