Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69143 / 96599
↖ ↑ ↗
← S 64.575574°
E  9.906922°		 ← 131.10 m → S 64.575574°
E  9.909668°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
S 64.576754°
E  9.906922°		 ← 131.09 m →
17 189 m²		 S 64.576754°
E  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527523040771484 y=0.736995697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527523040771484 × 217)
    floor (0.527523040771484 × 131072)
    floor (69143.5)     		tx = 69143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736995697021484 × 217)
    floor (0.736995697021484 × 131072)
    floor (96599.5)     		ty = 96599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69143 / 96599 ti = "17/69143/96599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69143/96599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69143 ÷ 217
    69143 ÷ 131072     		x = 0.527519226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96599 ÷ 217
    96599 ÷ 131072     		y = 0.736991882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527519226074219 × 2 - 1) × π
    0.0550384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17290840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736991882324219 × 2 - 1) × π
    -0.473983764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.4890639128978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17290840} λ = 0.17290840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4890639128978))-π/2
    2×atan(0.22558372274871)-π/2
    2×0.221869968560449-π/2
    0.443739937120898-1.57079632675     		φ = -1.12705639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17290840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.906922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12705639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.575574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69143 KachelY 96599 0.17290840 -1.12705639 9.906922 -64.575574
    Oben rechts KachelX + 1 69144 KachelY 96599 0.17295633 -1.12705639 9.909668 -64.575574
    Unten links KachelX 69143 KachelY + 1 96600 0.17290840 -1.12707697 9.906922 -64.576754
    Unten rechts KachelX + 1 69144 KachelY + 1 96600 0.17295633 -1.12707697 9.909668 -64.576754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12705639--1.12707697) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dl = 131.115180001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12705639--1.12707697) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dr = 131.115180001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17290840-0.17295633) × cos(-1.12705639) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429320192382179 × 6371000     		do = 131.098085465817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17290840-0.17295633) × cos(-1.12707697) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429301605415843 × 6371000     		du = 131.092409712045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12705639)-sin(-1.12707697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429320192382179-0.429301605415843)×R²
    abs(0.17295633-0.17290840)×1.85869663363314e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85869663363314e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85869663363314e-05×40589641000000     		ar = 17188.5769855656m²