Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69142 / 96597
↖ ↑ ↗
← S 64.573216°
E  9.904175°		 ← 131.14 m → S 64.573216°
E  9.906922°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
S 64.574395°
E  9.904175°		 ← 131.13 m →
17 194 m²		 S 64.574395°
E  9.906922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527515411376953 y=0.736980438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527515411376953 × 217)
    floor (0.527515411376953 × 131072)
    floor (69142.5)     		tx = 69142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736980438232422 × 217)
    floor (0.736980438232422 × 131072)
    floor (96597.5)     		ty = 96597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69142 / 96597 ti = "17/69142/96597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69142/96597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69142 ÷ 217
    69142 ÷ 131072     		x = 0.527511596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96597 ÷ 217
    96597 ÷ 131072     		y = 0.736976623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527511596679688 × 2 - 1) × π
    0.055023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17286046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736976623535156 × 2 - 1) × π
    -0.473953247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.48896803909856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17286046} λ = 0.17286046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48896803909856))-π/2
    2×atan(0.225605351354049)-π/2
    2×0.221890549730459-π/2
    0.443781099460918-1.57079632675     		φ = -1.12701523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17286046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12701523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.573216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69142 KachelY 96597 0.17286046 -1.12701523 9.904175 -64.573216
    Oben rechts KachelX + 1 69143 KachelY 96597 0.17290840 -1.12701523 9.906922 -64.573216
    Unten links KachelX 69142 KachelY + 1 96598 0.17286046 -1.12703581 9.904175 -64.574395
    Unten rechts KachelX + 1 69143 KachelY + 1 96598 0.17290840 -1.12703581 9.906922 -64.574395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12701523--1.12703581) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12701523--1.12703581) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17286046-0.17290840) × cos(-1.12701523) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429357365769346 × 6371000     		do = 131.136791164543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17286046-0.17290840) × cos(-1.12703581) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429338779166683 × 6371000     		du = 131.131114337671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12701523)-sin(-1.12703581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429357365769346-0.429338779166683)×R²
    abs(0.17290840-0.17286046)×1.85866026628512e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85866026628512e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85866026628512e-05×40589641000000     		ar = 17193.6518196312m²