Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69141 / 96770
↖ ↑ ↗
← S 64.776467°
E  9.901428°		 ← 130.16 m → S 64.776467°
E  9.904175°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
S 64.777637°
E  9.901428°		 ← 130.15 m →
16 933 m²		 S 64.777637°
E  9.904175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527507781982422 y=0.738300323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527507781982422 × 217)
    floor (0.527507781982422 × 131072)
    floor (69141.5)     		tx = 69141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738300323486328 × 217)
    floor (0.738300323486328 × 131072)
    floor (96770.5)     		ty = 96770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69141 / 96770 ti = "17/69141/96770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69141/96770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69141 ÷ 217
    69141 ÷ 131072     		x = 0.527503967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96770 ÷ 217
    96770 ÷ 131072     		y = 0.738296508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527503967285156 × 2 - 1) × π
    0.0550079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17281252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738296508789062 × 2 - 1) × π
    -0.476593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49726112273283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17281252} λ = 0.17281252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49726112273283))-π/2
    2×atan(0.223742123935981)-π/2
    2×0.220116855762519-π/2
    0.440233711525038-1.57079632675     		φ = -1.13056262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17281252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.901428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13056262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.776467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69141 KachelY 96770 0.17281252 -1.13056262 9.901428 -64.776467
    Oben rechts KachelX + 1 69142 KachelY 96770 0.17286046 -1.13056262 9.904175 -64.776467
    Unten links KachelX 69141 KachelY + 1 96771 0.17281252 -1.13058304 9.901428 -64.777637
    Unten rechts KachelX + 1 69142 KachelY + 1 96771 0.17286046 -1.13058304 9.904175 -64.777637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13056262--1.13058304) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13056262--1.13058304) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17281252-0.17286046) × cos(-1.13056262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426150900043298 × 6371000     		do = 130.15745399738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17281252-0.17286046) × cos(-1.13058304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426132426958701 × 6371000     		du = 130.151811841847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13056262)-sin(-1.13058304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426150900043298-0.426132426958701)×R²
    abs(0.17286046-0.17281252)×1.84730845967929e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84730845967929e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84730845967929e-05×40589641000000     		ar = 16932.5736971148m²