Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6914 / 5338
↖ ↑ ↗
← N 76.284333°
W104.040527°		 ← 289.66 m → N 76.284333°
W104.029541°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
N 76.281728°
W104.040527°		 ← 289.71 m →
83 899 m²		 N 76.281728°
W104.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.211013793945312 y=0.162918090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.211013793945312 × 215)
    floor (0.211013793945312 × 32768)
    floor (6914.5)     		tx = 6914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162918090820312 × 215)
    floor (0.162918090820312 × 32768)
    floor (5338.5)     		ty = 5338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6914 / 5338 ti = "15/6914/5338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6914/5338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6914 ÷ 215
    6914 ÷ 32768     		x = 0.21099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5338 ÷ 215
    5338 ÷ 32768     		y = 0.16290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.5780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.81584976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    0.6741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11804397281256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81584976} λ = -1.81584976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11804397281256))-π/2
    2×atan(8.31485748351554)-π/2
    2×1.45110455081953-π/2
    2.90220910163906-1.57079632675     		φ = 1.33141277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81584976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33141277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.284333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6914 KachelY 5338 -1.81584976 1.33141277 -104.040527 76.284333
    Oben rechts KachelX + 1 6915 KachelY 5338 -1.81565801 1.33141277 -104.029541 76.284333
    Unten links KachelX 6914 KachelY + 1 5339 -1.81584976 1.33136731 -104.040527 76.281728
    Unten rechts KachelX + 1 6915 KachelY + 1 5339 -1.81565801 1.33136731 -104.029541 76.281728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33141277-1.33136731) × R
    4.54599999999417e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33141277-1.33136731) × R
    4.54599999999417e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81584976--1.81565801) × cos(1.33141277) × R
    0.000191750000000157 × 0.237103806606839 × 6371000     		do = 289.655316475561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81584976--1.81565801) × cos(1.33136731) × R
    0.000191750000000157 × 0.237147970039031 × 6371000     		du = 289.709268257741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33141277)-sin(1.33136731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237103806606839-0.237147970039031)×R²
    abs(-1.81565801--1.81584976)×4.41634321919349e-05×R²
    0.000191750000000157×4.41634321919349e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.41634321919349e-05×40589641000000     		ar = 83899.4251312585m²