Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69136 / 73008
↖ ↑ ↗
← S 20.097206°
E  9.887695°		 ← 286.83 m → S 20.097206°
E  9.890442°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
S 20.099786°
E  9.887695°		 ← 286.82 m →
82 268 m²		 S 20.099786°
E  9.890442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527469635009766 y=0.557010650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527469635009766 × 217)
    floor (0.527469635009766 × 131072)
    floor (69136.5)     		tx = 69136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557010650634766 × 217)
    floor (0.557010650634766 × 131072)
    floor (73008.5)     		ty = 73008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69136 / 73008 ti = "17/69136/73008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69136/73008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69136 ÷ 217
    69136 ÷ 131072     		x = 0.5274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73008 ÷ 217
    73008 ÷ 131072     		y = 0.5570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5274658203125 × 2 - 1) × π
    0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.35818451396106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17257284} λ = 0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35818451396106))-π/2
    2×atan(0.698944098163766)-π/2
    2×0.610016953844795-π/2
    1.22003390768959-1.57079632675     		φ = -0.35076242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35076242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.097206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69136 KachelY 73008 0.17257284 -0.35076242 9.887695 -20.097206
    Oben rechts KachelX + 1 69137 KachelY 73008 0.17262078 -0.35076242 9.890442 -20.097206
    Unten links KachelX 69136 KachelY + 1 73009 0.17257284 -0.35080744 9.887695 -20.099786
    Unten rechts KachelX + 1 69137 KachelY + 1 73009 0.17262078 -0.35080744 9.890442 -20.099786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35076242--0.35080744) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35076242--0.35080744) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17257284-0.17262078) × cos(-0.35076242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939111007705075 × 6371000     		do = 286.828674470446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17257284-0.17262078) × cos(-0.35080744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939095537255415 × 6371000     		du = 286.823949396911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35076242)-sin(-0.35080744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939111007705075-0.939095537255415)×R²
    abs(0.17262078-0.17257284)×1.54704496603264e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54704496603264e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54704496603264e-05×40589641000000     		ar = 82268.2169223576m²