Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69130 / 44598
↖ ↑ ↗
← N 49.742232°
E  9.871216°		 ← 197.33 m → N 49.742232°
E  9.873962°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.740457°
E  9.871216°		 ← 197.34 m →
38 949 m²		 N 49.740457°
E  9.873962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527423858642578 y=0.340259552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527423858642578 × 217)
    floor (0.527423858642578 × 131072)
    floor (69130.5)     		tx = 69130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340259552001953 × 217)
    floor (0.340259552001953 × 131072)
    floor (44598.5)     		ty = 44598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69130 / 44598 ti = "17/69130/44598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69130/44598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69130 ÷ 217
    69130 ÷ 131072     		x = 0.527420043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44598 ÷ 217
    44598 ÷ 131072     		y = 0.340255737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527420043945312 × 2 - 1) × π
    0.054840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17228522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340255737304688 × 2 - 1) × π
    0.319488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00370280424474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17228522} λ = 0.17228522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00370280424474))-π/2
    2×atan(2.72836575182746)-π/2
    2×1.21948102276548-π/2
    2.43896204553097-1.57079632675     		φ = 0.86816572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17228522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86816572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.742232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69130 KachelY 44598 0.17228522 0.86816572 9.871216 49.742232
    Oben rechts KachelX + 1 69131 KachelY 44598 0.17233315 0.86816572 9.873962 49.742232
    Unten links KachelX 69130 KachelY + 1 44599 0.17228522 0.86813474 9.871216 49.740457
    Unten rechts KachelX + 1 69131 KachelY + 1 44599 0.17233315 0.86813474 9.873962 49.740457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86816572-0.86813474) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86816572-0.86813474) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17228522-0.17233315) × cos(0.86816572) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646227454950468 × 6371000     		do = 197.333327485415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17228522-0.17233315) × cos(0.86813474) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646251096868097 × 6371000     		du = 197.340546829375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86816572)-sin(0.86813474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646227454950468-0.646251096868097)×R²
    abs(0.17233315-0.17228522)×2.36419176294911e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36419176294911e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36419176294911e-05×40589641000000     		ar = 38949.0977561218m²