Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69127 / 44616
↖ ↑ ↗
← N 49.710273°
E  9.862976°		 ← 197.46 m → N 49.710273°
E  9.865722°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.708496°
E  9.862976°		 ← 197.47 m →
39 000 m²		 N 49.708496°
E  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527400970458984 y=0.340396881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527400970458984 × 217)
    floor (0.527400970458984 × 131072)
    floor (69127.5)     		tx = 69127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340396881103516 × 217)
    floor (0.340396881103516 × 131072)
    floor (44616.5)     		ty = 44616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69127 / 44616 ti = "17/69127/44616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69127/44616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69127 ÷ 217
    69127 ÷ 131072     		x = 0.527397155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44616 ÷ 217
    44616 ÷ 131072     		y = 0.34039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527397155761719 × 2 - 1) × π
    0.0547943115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17214141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34039306640625 × 2 - 1) × π
    0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17214141} λ = 0.17214141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00283994005157))-π/2
    2×atan(2.72601255810367)-π/2
    2×1.21920212769898-π/2
    2.43840425539797-1.57079632675     		φ = 0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17214141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.862976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69127 KachelY 44616 0.17214141 0.86760793 9.862976 49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 69128 KachelY 44616 0.17218934 0.86760793 9.865722 49.710273
    Unten links KachelX 69127 KachelY + 1 44617 0.17214141 0.86757693 9.862976 49.708496
    Unten rechts KachelX + 1 69128 KachelY + 1 44617 0.17218934 0.86757693 9.865722 49.708496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86760793-0.86757693) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86760793-0.86757693) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17214141-0.17218934) × cos(0.86760793) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 197.46328163171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17214141-0.17218934) × cos(0.86757693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.646676674971271 × 6371000     		du = 197.470502222884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86760793)-sin(0.86757693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.646676674971271)×R²
    abs(0.17218934-0.17214141)×2.36460020064388e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36460020064388e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36460020064388e-05×40589641000000     		ar = 38999.9086256115m²