Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69126 / 44603
↖ ↑ ↗
← N 49.733356°
E  9.860230°		 ← 197.41 m → N 49.733356°
E  9.862976°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 49.731581°
E  9.860230°		 ← 197.42 m →
38 964 m²		 N 49.731581°
E  9.862976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527393341064453 y=0.340297698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527393341064453 × 217)
    floor (0.527393341064453 × 131072)
    floor (69126.5)     		tx = 69126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340297698974609 × 217)
    floor (0.340297698974609 × 131072)
    floor (44603.5)     		ty = 44603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69126 / 44603 ti = "17/69126/44603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69126/44603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69126 ÷ 217
    69126 ÷ 131072     		x = 0.527389526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44603 ÷ 217
    44603 ÷ 131072     		y = 0.340293884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527389526367188 × 2 - 1) × π
    0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340293884277344 × 2 - 1) × π
    0.319412231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00346311974664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17209347} λ = 0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00346311974664))-π/2
    2×atan(2.72771188321581)-π/2
    2×1.21940357033073-π/2
    2.43880714066145-1.57079632675     		φ = 0.86801081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86801081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.733356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69126 KachelY 44603 0.17209347 0.86801081 9.860230 49.733356
    Oben rechts KachelX + 1 69127 KachelY 44603 0.17214141 0.86801081 9.862976 49.733356
    Unten links KachelX 69126 KachelY + 1 44604 0.17209347 0.86797983 9.860230 49.731581
    Unten rechts KachelX + 1 69127 KachelY + 1 44604 0.17214141 0.86797983 9.862976 49.731581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86801081-0.86797983) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86801081-0.86797983) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17209347-0.17214141) × cos(0.86801081) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646345665966374 × 6371000     		do = 197.410603323557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17209347-0.17214141) × cos(0.86797983) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646369304782345 × 6371000     		du = 197.417823226418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86801081)-sin(0.86797983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646345665966374-0.646369304782345)×R²
    abs(0.17214141-0.17209347)×2.36388159713385e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36388159713385e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36388159713385e-05×40589641000000     		ar = 38964.3500201749m²